Równania i nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną

[m.muszy]

I znowu ta nieszczęsna wartość bezwzględna... Oto kilka przykładów, nie bardzo wiem jak zacząć :

1) \(\displaystyle{ \left|x-3 \right|^{2} - 4 \left|x-3 \right] - 12 = 0}\)

2) \(\displaystyle{ \left|x^{2}-3x\right|= \left|x^{2}+2x+5\right|}\) + \(\displaystyle{ \left|x-5 \right|}\)

3) \(\displaystyle{ \left| x^{2}- \left|x \right| \right| \le 2}\)

[binio]

Siemanko
W zadaniu nr 1 musisz znaleźć miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną:
Czyli przyrównać te wyrażenia do zera.

\(\displaystyle{ x-3=0}\)
\(\displaystyle{ x = 3}\)

Ponieważ obydwie wartości są takie same (x-3) wystarczy raz przyrównać do zera.
Następnie szukasz odpowiedzi w dwóch przedziałach, które powstały
pierwszy: \(\displaystyle{ (\infty;3)}\)
drugi: \(\displaystyle{ [3;infty)}\)

pierwszy:
bierze jakąś liczbę z pierwszego przedziału i sprawdzamy czy wartość z pod modułu jest dodatnia gdy tak się dzieje to przy przepisywaniu nie zmieniamy znaku jeżeli wartość jest ujemna to trzeba zmienić znak czyli:
\(\displaystyle{ (-x+3)^{2}-4(-x+3)-12=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-6x+9+4x-12-12=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-2x-15=0}\)

\(\displaystyle{ \wedge}\) - niby delta

\(\displaystyle{ \wedge = (-2)^{2}-4*1*(-15) = 64}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{2-8}{2} = -3}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{2+8}{2} = 5}\)
pierwiastek z \(\displaystyle{ x_{2}}\) odrzucamy ponieważ 5 nie mieści się w pierwszym przedziale zostaje więc (-3).

drugi:
\(\displaystyle{ (x-3)^{2}-4(x-3)-12=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-6x+9-4x+12-12=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-10x+9=0}\)

\(\displaystyle{ \wedge = (-10)^{2}-4*1*9 = 64}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{10-8}{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{10*8}{2} = 9}\)
W tym przypadku odrzucamy \(\displaystyle{ x_{1}}\) ponieważ 1 nie mieści się w drugim przedziale więc zostaje 9

Ostateczna odpowiedź to: \(\displaystyle{ x \in \{-3, 9\}}\)

[m.muszy]

\(\displaystyle{ x^{2}+6x+9+4x-12-12=0}\) . Z tego wychodzi równość \(\displaystyle{ x^{2} + 10x - 15}\). Ale paradoksalnie z Twoich wyliczeń wychodzą dobre rozwiązania A reszta zadań, ktoś ma pomysły>?

[binio]

O sorry faktycznie ale przepisywałem z kartki i mogłem się pomylić przy przepisywaniu tak naprawdę linijkę wyżej zamiast + napisałem - już poprawiłem powinno się zgadzać-- 17 paź 2009, o 17:08 --Jeśli chodzi o nie równość to:

\(\displaystyle{ \left| x^{2} - \left| x \right| \right| \le 2}\)

Analogicznie możesz zapisać dwie nie równości:
1. \(\displaystyle{ x^{2} - \left| x \right| \le 2}\)
2. \(\displaystyle{ x^{2} - \left| x \right| \ge -2}\)

1:
\(\displaystyle{ x^{2} - \left| x \right| \le 2}\)

Ponieważ pod modułem jest tylko x i jest jeden moduł rozwiązań poszukujemy w dwóch przedziałach:
a) \(\displaystyle{ (-\infty;0)}\)
b) \(\displaystyle{ [0;infty)}\)

a)
\(\displaystyle{ x^{2}-(-x) \le 2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+x-2 \le 0}\)

\(\displaystyle{ \wedge = 9}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = -2}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = 1}\)
Nas interesują rozwiązania w przedziale od \(\displaystyle{ [-2;1]}\)
w przedziale a są tylko \(\displaystyle{ [-2;0)}\) i te są rozwiązaniem podpunktu a.

b)
\(\displaystyle{ x^{2}-(x) \le 2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-x-2 \le 0}\)

\(\displaystyle{ \wedge = 9}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = 2}\)
Tu interesują nas rozwiązania w przedziale \(\displaystyle{ [1;2]}\)
Wszystkie mieszczą się w przedziale b więc przedział \(\displaystyle{ [1;2]}\) zaliczamy do rozwiązania.

Czyli rozwiązaniem podpunktu 1 jest suma przedziałów: \(\displaystyle{ [-2;0) \cup [1;2]}\)

2:
\(\displaystyle{ x^{2}-\left|x\right| \ge -2}\)
Tutaj również poszukujemy rozwiązań w dwóch przedziałach (takich samych):
a) \(\displaystyle{ (-\infty;0)}\)
b) \(\displaystyle{ [0;infty)}\)

a)
\(\displaystyle{ x^{2}-(-x) \ge -2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+x+2\ge0}\)

\(\displaystyle{ \wedge = -7}\)
\(\displaystyle{ \wedge < 0}\) Teraz najlepiej spojrzeć na równanie jako na funkcję. Delta jest mniejsza o zera czyli brak miejsc zerowych ale współczynnik kierunkowy (1) jest dodatni co oznacza, że parabola miał by gałęzie uniesione ku górze więc wykres znalazł by się nad osią x.
Czyli zawsze wartości były by większe od zera, co oznacza że zbiorem rozwiązań jest cały przedział \(\displaystyle{ [-infty;0)}\)

b)
\(\displaystyle{ x^{2}-(x) \ge -2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-x+2\ge0}\)

\(\displaystyle{ wedge = -7\(\displaystyle{
\(\displaystyle{ \wedge < 0}\)
Podobna sytuacja jak powyżej, również należy zaliczyć cały przedział: \(\displaystyle{ [0;infty)}\)

Odpowiedzią do punktu 2 jest suma tych dwóch przedziałów czyli zbiór liczb rzeczywistych.

OSTATECZNĄ ODPOWIEDZIĄ DO ZADANIA JEST CZĘŚĆ WSPÓLNA ZBIORÓW Z PUNKTÓW 1 i 2
\(\displaystyle{ x \in [-2;0) \cup [1;2]}\)}\)}\)