Rownanie z parametrem.

[kamilloo250]

Dla jakich wartosci parametru m rownanie \(\displaystyle{ x^{4}+(1-2m) x^{2}+ 2m^{2}+ \frac{1}{4}=0}\)
nie ma rozwiazan?
Prosze o pomoc.

[miki999]

Podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2}\)
I jedziesz: \(\displaystyle{ \Delta<0}\) lub oba pierwiastki są ujemne (korzystasz ze wzorów pewnego pana o nazwisku na V)


Pozdrawiam.

[kamilloo250]

tak, z tym ze robilem to juz dwoma sposobami i kazdym wychodzi cos innego. moglbys zrobic to zadanie i podac odpowiedz- ile ci wyjdzie. bylbym wdzieczny.
bo z delty wyhcodzi mi zbior dla \(\displaystyle{ m \in (- \infty ,-1) \cup (1, + \infty )}\) a gdy jade ze wzorow vieta wychodzi ze \(\displaystyle{ m \in R}\)-- 17 paź 2009, o 14:53 --ale gdy podstawie za m liczbe np.\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) to wowczas jest rozwiazanie czyli R nie moze byc chyba

[miki999]

Nie chce mi się tego rozwiązywać, ale możesz pokazać obliczenia, to może znajdę jakiś błąd.

[kamilloo250]

bo w odpowiedziach na koncu ksiazki pisze ze \(\displaystyle{ m \in R}\) ale przeciez to jest nie mozliwe bo np dla liczby \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) funkcja bedzie miala rozwiazanie. jak moglbys kolego to wes gdzies w zeszycie rozwiaz to rownanie to naprawde kwestia minuty a dla mnie sprawa wazna.

-- 17 paź 2009, o 19:27 --

\(\displaystyle{ delta<0}\)
\(\displaystyle{ t^2 + (1-2m)t + 2m^{2} + \frac{1}{4} = 0}\)

\(\displaystyle{ delta=(1-2m) ^{2}-4(2m ^{2} + \frac{1}{4} )}\)

\(\displaystyle{ delta=-4m ^{2} -4m<0}\)

i wychodzi zbior \(\displaystyle{ m \in (- \infty , -1) \cup (0, \infty )}\)

ale gdy dam zalozenie ze \(\displaystyle{ t1*t2>0}\) (bo kazde t musi byc mniejsze od zera czyli ich iloczyn bedzie dodatni) to wychodzi ze \(\displaystyle{ m \in R}\)

ale dla np \(\displaystyle{ m=- \frac{1}{2}}\) jest rozwiazanie czyli te R nie moze byc chyba co nie.

i jescze moje takie pytanie z innej troche beczki.
kiedy daje zalozenie

\(\displaystyle{ \begin{cases}delta>0 \\t1*t2>0 \end{cases}}\) to te warunki musza byc spelnione jednoczesnie co nie. bo gdybym dal te warunki do zadania to z jednego wyszedl by ten zbior a z drugiego Zbior liczb rzeczywistych ale tu musi byc ich czesc wspolna czyli to bedzie ten zbior bo to jest ich czesc wspolna co nie?

[miki999]

ale gdy dam zalozenie ze \(\displaystyle{ t1*t2>0}\) (bo kazde t musi byc mniejsze od zera czyli ich iloczyn bedzie dodatni)

A gdy \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\) są większe od \(\displaystyle{ 0}\), to ich iloczyn nie jest dodatni? Musisz dodać warunek \(\displaystyle{ t_1 + t_2 <0}\)

to te warunki musza byc spelnione jednoczesnie co nie.

Nie. Nawet jak opisujesz rozwiązanie (przynajmniej ja to formułuję) to używamy spójnika "lub". Albo delta jest mniejsza od zera, albo oba pierwiastki \(\displaystyle{ t_1\ i\ t_2}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ 0}\). Jakbyś połączył to warunkiem, to wyszłaby Ci pewnego rodzaju sprzeczność, bo:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta<0 \\t_1 \cdot t_2>0 \\ t_1 +t_2<0 \end{cases}}\)
oznacza, że "równanie nie posiada pierwiastków i posiada oba pierwiastki ujemne"

[kamilloo250]

to te warunki musza byc spelnione jednoczesnie co nie.

Nie. Nawet jak opisujesz rozwiązanie (przynajmniej ja to formułuję) to używamy spójnika "lub".

a przypadkiem w ukladzie rownan nie wystepuje tylko spojnik "i" czyli koniunkcja. mozesz nawet sprawdzic na wikipedii, jest bo sprawdzalem. to oznacza ze wszystkie warunki musza byc spelnione jednoczesnie.

PS. na tym temacie na naszym forum (https://www.matematyka.pl/8560.htm) tez zakladali 3 zalozenia i bym nawet komentarz ze czesc wspolna spelnia warunki

czesc wspolna tych warunkow daje ostateczne rozwiazanie zadania

.

Aha i mam jescze pytanie odnosnie tej stronki co podalem i tego zadania- dlaczego oni zakladali ze delta musi byc wieksza ALBO ROWNA 0?? przeciez r. kwadratowe ma 2 rozwiazania tylko wtedy gdy delta jest wieksza od zera???(bo delta=0 jest 1 rozw.)

[miki999]

a przypadkiem w ukladzie rownan nie wystepuje tylko spojnik "i" czyli koniunkcja.

Zgadza się. Tylko gdzie Ty robisz układ równań? Jedyny to przy założeniu, że pierwiastki są mniejsze od zera.

tez zakladali 3 zalozenia i bym nawet komentarz ze czesc wspolna spelnia warunki

Tam było polecenie: pierwiastki istnieją i oba są dodatnie.

Aha i mam jescze pytanie odnosnie tej stronki co podalem i tego zadania- dlaczego oni zakladali ze delta musi byc wieksza ALBO ROWNA 0??

Bo to poniekąd kwestia umowna. Gdy \(\displaystyle{ \Delta}\) wychodzi zero to mamy jeden pierwiastek, ale jest to pierwiastek podwójny. Niemniej jednak ja bym założył, że \(\displaystyle{ \Delta >0}\). Najlepiej gdy w treści zadania jest określone, że mają to być "dwa różne pierwiastki dodatnie".


Wracając do zadania:
przy podstawieniu \(\displaystyle{ x^2=t}\) równanie nie ma rozwiązań, gdy:
\(\displaystyle{ \Delta _t <0}\) lub pierwiastki istnieją, ale oba są ujemne.

[kamilloo250]

miki999, Aha dzieki za wszystko. i ostatecznie to te rozw. \(\displaystyle{ m \in R}\) jest dobre??

[miki999]

A sprawdziłeś warunek na to, że \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\) są ujemne?

[kamilloo250]

tak sprawdzilem na wszystko zaraz ci podam co wyszlo

\(\displaystyle{ m \in R}\) dla t1*t2>0
\(\displaystyle{ m \in (- \infty ,-1) \cup (0,+ \infty )}\) dla delta<0
\(\displaystyle{ m \in (- \infty , \frac{1}{2} )}\) dla t1+t2<0

[miki999]

Nie prawda.

\(\displaystyle{ delta=-4m ^{2} -4m<0}\)

i wychodzi zbior \(\displaystyle{ m \in (- \infty , -1) \cup (0, \infty )}\)

Czyli z deltą nie jest zbiór liczb rzeczywistych.

[kamilloo250]

a sory juz tyle razy to pisze ze mi sie pomieszalo xD-- 18 paź 2009, o 16:38 --juz poprawilem, bo tylko zle dopasowalem zbiory

[miki999]

Zależność: \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ 0}\) określa zależność:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \in R \\ m \in (- \infty , \frac{1}{2} ) \end{cases}}\)
Natomiast brak pierwiastków:
\(\displaystyle{ m \in (- \infty ,-1) \cup (0,+ \infty )}\)

Należy wysunąć odpowiednie wnioski.

[kamilloo250]

aaaa xD juz wiem z tego ukladu rownan musi byc czsc wspolna czyli w tym przypadku zbior taki jak ten drugi w ukladzie i do tego zbior ze spojnikiem lub ten dla delty dzieki za pomoc teraz juz wszystko rozumiem xD czyli ostatecznie m nalezy do R