wykazac nierównosc

adam333 · Post autor: **adam333** » 15 paź 2009, o 19:13

Wykaż ze dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ x ^{4}-6x ^{3}+10x ^{2}-4x+4>0}\)

Arst · Post autor: **Arst** » 15 paź 2009, o 19:29

Na mój gust to trzeba by znaleźć minima lokalne tego wielomianu i sprawdzić czy wszystkie są większe od 0. Jeśli są to teza zachodzi.

Pozdrawiam

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 15 paź 2009, o 19:43

zauważmy, że wystarczy ograniczyć badanie do x>0. zauważmy, że \(\displaystyle{ x^4-6x^3+10x^2=x^2(x^2-6x+10)}\) minimalna wartość wyrażenia \(\displaystyle{ x^2-6x+10}\) wynosi 1 i jest przyjmowana dla x=3. czyli dla x<>3 jest \(\displaystyle{ x^4-6x^3+10x^2=x^2(x^2-6x+10)>x^2}\) i wtedy \(\displaystyle{ x^4-6x^3+10x^2-4x+4>x^2-4x+4=(x-2)^2\ge 0}\). dla x=3 sprawdzamy bezpośrednio

adam333 · Post autor: **adam333** » 15 paź 2009, o 22:08

a mógłby ktoś to rozpisac? bo jak napisze sobie pochodna tej funkcji to nie moge znalezc miejsc zerowych.. utknołem w tym zadaniu i nie moge z tego wyjsc..

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 16 paź 2009, o 10:15

ale po co Ci rozpisywanie? rozumiesz rozwiązanie, które podałem?

xanowron · Post autor: **xanowron** » 17 paź 2009, o 20:07

Bardziej sprytnie to \(\displaystyle{ x ^{4}-6x ^{3}+10x ^{2}-4x+4=(x^{2}-3x)^{2}+(x-2)^{2}}\)
Ujemnie na pewno to nie jest, zerem być też nie może, bo obydwa nawiasy musiałyby zerować się jednocześnie więc jest dodatnie co najwyżej.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 17 paź 2009, o 20:19

ha! ładne!