podzielność wielomianów
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
podzielność wielomianów
Znaleźć \(\displaystyle{ m,n\geq 3}\) takie ze \(\displaystyle{ X^n+X^2-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ X^m+X-1}\)
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
podzielność wielomianów
Zastanówmy się, kiedy dla \(\displaystyle{ n,m > 2}\) zachodzi
\(\displaystyle{ 2^{m}+1 | 2^{n}+3}\).
Stąd od razu \(\displaystyle{ n \geqslant m}\). Łatwo widać, że jeśli \(\displaystyle{ 2^{m}+1 | 2^{k}+a}\) to \(\displaystyle{ 2^{m}+1|2^{k-m}-a}\).
Stosując wielokrotnie tą obserwację mamy
\(\displaystyle{ 2^{m}+1 | 2^{r}\pm 3}\),
gdzie \(\displaystyle{ r < m}\).
\(\displaystyle{ 2^{m}+1 \leqslant 2^r +3 \leqslant 2^{m-1}+3}\)
Ale \(\displaystyle{ 2^{m-1}+3< 2\cdot 2^{m-1} = 2^{m}}\)
\(\displaystyle{ 2^{m}+1 | 2^{n}+3}\).
Stąd od razu \(\displaystyle{ n \geqslant m}\). Łatwo widać, że jeśli \(\displaystyle{ 2^{m}+1 | 2^{k}+a}\) to \(\displaystyle{ 2^{m}+1|2^{k-m}-a}\).
Stosując wielokrotnie tą obserwację mamy
\(\displaystyle{ 2^{m}+1 | 2^{r}\pm 3}\),
gdzie \(\displaystyle{ r < m}\).
\(\displaystyle{ 2^{m}+1 \leqslant 2^r +3 \leqslant 2^{m-1}+3}\)
Ale \(\displaystyle{ 2^{m-1}+3< 2\cdot 2^{m-1} = 2^{m}}\)