podzielność wielomianów

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

podzielność wielomianów

Post autor: robin5hood »

Znaleźć \(\displaystyle{ m,n\geq 3}\) takie ze \(\displaystyle{ X^n+X^2-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ X^m+X-1}\)
Awatar użytkownika
Maciej87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 377
Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

podzielność wielomianów

Post autor: Maciej87 »

Zastanówmy się, kiedy dla \(\displaystyle{ n,m > 2}\) zachodzi
\(\displaystyle{ 2^{m}+1 | 2^{n}+3}\).
Stąd od razu \(\displaystyle{ n \geqslant m}\). Łatwo widać, że jeśli \(\displaystyle{ 2^{m}+1 | 2^{k}+a}\) to \(\displaystyle{ 2^{m}+1|2^{k-m}-a}\).
Stosując wielokrotnie tą obserwację mamy
\(\displaystyle{ 2^{m}+1 | 2^{r}\pm 3}\),
gdzie \(\displaystyle{ r < m}\).
\(\displaystyle{ 2^{m}+1 \leqslant 2^r +3 \leqslant 2^{m-1}+3}\)
Ale \(\displaystyle{ 2^{m-1}+3< 2\cdot 2^{m-1} = 2^{m}}\)
ODPOWIEDZ