pyszne zad z parametrem i pierwiastkami

dżi-unit · Post autor: **dżi-unit** » 13 paź 2009, o 19:45

dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^4 + 2(m-2)x^2 + m^2 - 1 = 0}\) ma dwa różne pierwiastki?
Odpowiedź do zadania: \(\displaystyle{ m\in(-1,1)\cup\{\frac{5}{4}\}}\).

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 13 paź 2009, o 21:36

podstaw sobie \(\displaystyle{ x^2=t}\) i teraz żeby twoje równanie miało 2 pierwiastki różne to równanie kwadratowe musi mieć 2 pierwiastki różnych znaków czyli ze wzorów Vieta:
\(\displaystyle{ t_1*t_2<0}\)

jak dalej nie będziesz wiedział poszukaj na forum podobnych zadań

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 13 paź 2009, o 23:01

Gwoli uzupełnienia wszelkie przypadki wielomianów 4 stopnia z dwoma różnymi miejscami zerowymi wyglądają tak (dla uproszczenia a=1):
\(\displaystyle{ f(x)=(x-x_1)^2(x-x_2)^2 \\
f(x)=(x-x_1)^3(x-x_2) \\
f(x)=(x-x_1)(x-x_2) \cdot W_2(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ W_2(x)}\) to trójmian kwadratowy (pełny lub niepełny) z Deltą ujemną.
Można pokusić się o sprawdzenie które przypadki wchodzą w grę w tym przykładzie.