wykaz, ze...

[abys]

wykaz, ze rownanie \(\displaystyle{ ax^{3}+(b-4)x^{2}+cx+d=0}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) tworza rosnacy ciag liczb naturalnych nieparzystych, ma tylko jedno rozwiazanie.
mam problem z tym zadaniem, prosilby o pomoc.

[MarcinT]

Mamy więc:
\(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ a,b,c,d \in N}\)
\(\displaystyle{ W(x)=ax^{3}+(b-4)x^{2}+cx+d=0}\)

Ponadto z tego ze wszystkie liczby a,b,c,d sa takiej samej parzystosci wynikaja nierownosci:

\(\displaystyle{ 1\leq a \leq b-2}\) oraz \(\displaystyle{ 1 \leq a \leq c-4}\)
A stąd:
\(\displaystyle{ b-4 \geq a-2}\) oraz \(\displaystyle{ c \geq a+4}\)
Wyznaczamy teraz pochodna W(x) i stosujemy nierownosci wyzej pokazane:
\(\displaystyle{ W\prime (x)=3ax^{2}+2(b-4)x + c \geq 3ax^{2} + 2(a-2)x + a+4}\)
Obliczmy teraz wyroznik otrzymanego po zastosowaniu nierownosci trojmianu:
\(\displaystyle{ \Delta = 4(a-2)^{2}-12a(a+4)=-8a^{2} -64a+4}\).
Widzimy ze dla kazdego naturalnego a mamy
\(\displaystyle{ \Delta }\),
a stad
W'(x)>0.
Poniewaz dla kazdego x pochodna W(x) jest dodatnia, to W(x) jest rosnace w calej dziedzinie, a stad posiada jedno miejsce zerowe, ckd.

[ Dodano: Wto Kwi 25, 2006 4:06 pm ]
Ah co do tego zadania to tak mysle ze stwierdzenie ze a,b,c,d tworza rosnacy ciag nie determinuje a[ Dodano: Wto Kwi 25, 2006 4:07 pm ]
Wtedy moje rozwiazanie nie jest poprawne