Podzielność wielomianów i twierdzenie Bezouta

[lpluski]

Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{m}(a^{n}-b^{n})+a^{m}(b^{n}-x^{n})+b^{m}(x^{n}-a^{n})}\), gdzie \(\displaystyle{ m,n \in C_{+}}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=x^{2}-(a+b)x+ab}\). Z góry dziękuję za pomoc.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b) \\
\\
Q(a)=a^m(a^n-b^n)+a^m(b^n-a^n)=0 \\
Q(b)=b^m(a^n-b^n)+b^m(b^n-a^n)=0}\)

Skoro pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) są liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to \(\displaystyle{ (x-a)(x-b) \mid Q(x)}\)

\(\displaystyle{ \blacksquare}\)