1) Udowodnij, że jeżeli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla czterech argumentów całkowitych wartość 1, to dla żadnego argumentu całkowitego nie przyjmuje wartości -1.
2) wykazać że: (1*3*5*7*...*97*99)/(2*4*6*8*...*98*100) < 0,1
jakby ktoś potrafił pomóc byłbym bardzo wdzięczny
zadanie na tw. o wsp. całk. wiel. ... i jedno inne
-
MarcinT
- Użytkownik
- Posty: 175
- Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 4 razy
zadanie na tw. o wsp. całk. wiel. ... i jedno inne
Ad. 1
Oznaczmy
\(\displaystyle{ P(x)=W(x)-1}\)
Z założenia \(\displaystyle{ P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=0}\)
Przy czym \(\displaystyle{ a\neq b\neq c d}\)
Poniewaz a,b,c,d sa calkowite i wspolczynniki sa calkowite to na mocy tw. Bezout
\(\displaystyle{ P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)}\) gdzie Q(x) jest wielomianem o wspolczynnikach calkowitych.
Zalozmy wbrew tezie ze dla pewnego całkowitego n W(n)=-1.
Wtedy \(\displaystyle{ P(n)=(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)Q(n)=-2}\)
Stad poniewaz wszystkie czynniki są całkowite, to każdy czynnik musi dzielic -2 i widać że dwie z liczb a,b,c,d musza sobie byc równe, bo w rozkladzie na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ -2=-1\cdot1\cdot2.}\).
Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.
Oznaczmy
\(\displaystyle{ P(x)=W(x)-1}\)
Z założenia \(\displaystyle{ P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=0}\)
Przy czym \(\displaystyle{ a\neq b\neq c d}\)
Poniewaz a,b,c,d sa calkowite i wspolczynniki sa calkowite to na mocy tw. Bezout
\(\displaystyle{ P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)}\) gdzie Q(x) jest wielomianem o wspolczynnikach calkowitych.
Zalozmy wbrew tezie ze dla pewnego całkowitego n W(n)=-1.
Wtedy \(\displaystyle{ P(n)=(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)Q(n)=-2}\)
Stad poniewaz wszystkie czynniki są całkowite, to każdy czynnik musi dzielic -2 i widać że dwie z liczb a,b,c,d musza sobie byc równe, bo w rozkladzie na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ -2=-1\cdot1\cdot2.}\).
Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.