Reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian

[domin8]

Mam takie zadanie:

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ p(x)=(x+1)^{2}-2*(x+1)}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ w(-1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ w(1)=3}\)

Nie wiem jak to zrobić (ciemny chyba jestem bo nie mogę tego ruszyć) z góry dzięki!!

[Tristan]

Po podzieleniu wielomianu ( będę pisał z indeksem "n" dla zrozumienia i większej przejrzystości) \(\displaystyle{ w_{n}(x)}\) przez x+1 mamy \(\displaystyle{ w_{n}(x)=(x+1) g_{n-1} (x) +1}\). Czyli \(\displaystyle{ w_{n} (-1)=1}\). Analogicznie \(\displaystyle{ w_{n}(1)=3}\).
Zarazem \(\displaystyle{ p(x)=(x+1)^2-2(x+1)=(x+1)(x+1-2)=(x+1)(x-1)}\). Przy dzielelniu przez \(\displaystyle{ (x+1)(x-1)}\) otrzymamy \(\displaystyle{ w_{n} (x)=(x+1)(x-1) g_{n-2} (x)+ax+b}\). Czyli otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}w_{n} (-1)=-a+b=1\\w_{n} (1)=a+b=3 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}a=1\\b=2 \end{array}}\)
Stąd też poszukiwaną resztą jest \(\displaystyle{ x+2}\).

[siNister]

rozpoczniemy od przeksztalcenia wielomianu p(x), otrzymamy, ze p(x)=\(\displaystyle{ x^2-1}\) a z tego p(x)=(x-1)(x+1)

Wiemy, ze W(-1)=1

W(x) | P(x)
R(x) ma stopien mniejszy od P(x), czyli R(x)=ax+b

W(-1)=(x-1)(x+1)+a(-1)+b
W(-1)=-a+b
-a+b=1

W(1)=(x-1)(x+1)+a(1)+b
a+b=3

mamy uklad rownan po dodaniu otrzymamy
2b=4 => b=2 oraz a=1

podstawiajac do wzoru na R(x)=ax+b
otrzymujemy, ze R(x)=x+2

eot. pozdrawiam.

[Tomasz Rużycki]

Skorzystaj z twierdzenia Bezouta.

[kotek]

Skorzystaj z twierdzenia Bezouta.

W jaki sposób?