Wielomian + parametr

szek · Post autor: **szek** » 18 kwie 2006, o 13:17

Dwa zadania sprawiające mi niemały kłopot.

Zad. 1.
Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie mχ� + (9m - 3)χ� + (2 - m)χ = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie.

Zad. 2.
Wielomian W(x) = (m - 4)x� - (m + 6)x� - (m - 1)x + m + 3 jest podzielny przez dwumian x + 1. Dla jakich wartości parametru m wielomian W ma dokładnie dwa pierwiastki?

johny_f · Post autor: **johny_f** » 18 kwie 2006, o 13:53

zad1
1) zauważasz że 0 jest zawsze rozw. równania (wyłączasz x przed nawias)
2) mając równanie kwadratowe już jest łatwo- szukasz takich m dla których to równ. kwadratowe ma 1 rozw dod. lub 2

1 przyp: \(\displaystyle{ m= 0}\), podstawiasz,wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}}\) czyli x>0 - spełnia
2 przyp: \(\displaystyle{ m\neq 0, \Delta =0}\)
wyliczasz delte, wychodzą ci 2 "emy", sprawdzasz czy dla tych emów x>0, w tym celu liczysz x ze wzoru \(\displaystyle{ x=\frac{-b}{2a}}\) wyjdzie ci znowu że x>0 - więc te 2 emy spełniają
3 przyp:\(\displaystyle{ \Delta >0, x_{1}x_{2}>0, x_{1}+x_{2}>0}\)
a to już ze wz. Viete'a
4 przyp: \(\displaystyle{ \Delta >0, x_{1}x_{2}}\)

zostaje ci zsumować przedziałami wszystkie emy.

zad 2.
z tw Bezout'a -1 jest pierw tego równiania
wyłączasz czynnik x+1 z tego równiania; badamy takie m dla których drugi czynnik ma 1 rozwiązanie
1* \(\displaystyle{ m=4 i x\neq -1=> x=\frac{7}{10}}\)
2* \(\displaystyle{ \Delta =0 i x\neq -1}\)
3* \(\displaystyle{ \Delta >0 i x_{1}=-1}\)

Wildthinks · Post autor: **Wildthinks** » 18 kwie 2006, o 13:59

Zadanko 2. m=-4,(3) [czyli -4i1/3]

johny_f · Post autor: **johny_f** » 18 kwie 2006, o 14:07

no niezupełnie ;]

z moich obliczeń wynika że \(\displaystyle{ m [-\frac{13}{3},-\frac{1}{4}, 4]}\)
ale to tylko przypuszczenie

szek · Post autor: **szek** » 18 kwie 2006, o 19:58

No nie wychodzi mi.

Zad. 1.
x=0
mx� + (9m - 3)x + (2 - m) = 0

1) jeśli m=0, to f. jest liniowa, rozwiązanie x=2/3 - OK

2) 1 rozwiązanie f. kwadratowej
Δ=0
x=-b/2a
-b/2a > 0
m € (0;1/3)

3) 2 rozwiązania f. kwadratowej
Δ > 0
a) oba są dodatnie
x1*x2 >0
m € (0;2)

x1 + x2 >0
m € (- ∞;0) u (1/3;∞)

b) jedno jest dodatnie, drugie ujemne
x1*x2 < 0
m € (- ∞;0) u (2; ∞)

Sumuję zbiory:
1) m=0
2) m € (0;1/3)
3) a) m € (0;2)
m € (- ∞;0) u (1/3;∞)
b) m € (- ∞;0) u (2;∞)
Zatem m € R{1/3, 2}

Odpowiedź prawidłowa: m € (- ∞; 0,2> u (2; ∞)
Nie wyszło ;/

Zad. 2.
Jak wyciągnąć (x+1) z W(x)?
Jedyne, co przyszło mi do głowy, to przedstawienie W(x) w postaci W(x) = (x+1)(x-a)�. Wtedy W(x) = x� - (2a - 1)x� - (-a� + 2a)x + a�
No i podstawiam:
m - 4 = 1
2a - 1 = m + 6
-a� + 2a = m - 1
a� = m + 3

... i w pewnym momencie wychodzi mi sprzeczność ;/

A prawidłowa odpowiedź to: m=-13/3 lub m=-1/4

Przepraszam za kłopot i dziękuję za cierpliwość.

johny_f · Post autor: **johny_f** » 18 kwie 2006, o 21:05

szek pisze:Zad. 2.
Jak wyciągnąć (x+1) z W(x)?

dzielisz po prostu W(x) przez x+1 ze schematu Hornera albo standardowo

[ Dodano: Wto Kwi 18, 2006 9:23 pm ]

szek pisze:
A prawidłowa odpowiedź to: m=-13/3 lub m=-1/4

dla m=4 równość też jest spełniona
zauważ :
W(x) = (m - 4)x� - (m + 6)x� - (m - 1)x + m + 3=-10x� -3x+7=-(x+1)(10x-7)
a zatem dla m=4 x+1 także dzieli W(x) i ma dwa pierwiastki