wielomian dwóch zmiennych

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

wielomian dwóch zmiennych

Post autor: szymek12 »

Dowieść, że wielomian dwóch zmiennych \(\displaystyle{ W(x,y)=x ^{200} \cdot y ^{200}+1}\) nie można przedstawić w postaci iloczynu dwóch wielomianów: jeden tylko zmiennej \(\displaystyle{ x}\), drugi tylko zmiennej \(\displaystyle{ y}\), czyli w postaci \(\displaystyle{ W(x,y)=f(x) \cdot f(y)}\) .
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

wielomian dwóch zmiennych

Post autor: »

Załóżmy przeciwnie, to znaczy, że istnieją wielomiany \(\displaystyle{ f(x),g(y)}\) takie, że:
\(\displaystyle{ x^{200}\cdot y^{200} +1= f(x) \cdot g(y)}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ x=0}\) daje nam:
\(\displaystyle{ 1 = f(0) \cdot g(y)}\)
skąd wynika, że \(\displaystyle{ g(y)}\) musi być wielomianem stałym. Analogicznie pokazujemy, że wielomianem stałym musi być \(\displaystyle{ f(x)}\), co prowadzi do oczywistej sprzeczności.

Q.
ODPOWIEDZ