rozwinięcie newtona w wielomianie

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

rozwinięcie newtona w wielomianie

Post autor: szymek12 »

Znaleźć współczynniki przy potęgach \(\displaystyle{ x ^{17}}\) i \(\displaystyle{ x ^{18}}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=(1+x ^{5}+x ^{7}) ^{20}}\).
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

rozwinięcie newtona w wielomianie

Post autor: »

Łatwo zauważyć, że nasz wielomian po wymnożeniu będzie postaci:
\(\displaystyle{ W(x) = \sum c_{kl} \cdot x^{5k+7l}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ c_{kl}}\) (\(\displaystyle{ k,l}\) - całkowite)
Ponieważ osiemnastki nie da się zapisać w postaci \(\displaystyle{ 5k+7l}\), zatem przy \(\displaystyle{ x^{18}}\) stoi zero. Natomiast \(\displaystyle{ 17= 2 \cdot 5 + 7}\), więc \(\displaystyle{ x^{17}}\) pojawi się w sumie z niezerowym współczynnikiem.

Spośród 20 nawiasów, które przez siebie mnożymy, z dwóch musimy wziąć \(\displaystyle{ x^5}\), z jednego \(\displaystyle{ x^7}\), a z pozostałych \(\displaystyle{ 1}\). Można to zrobić na:
\(\displaystyle{ {20 \choose 2} \cdot {18 \choose 1} = 3420}\)
i taki też współczynnik pojawi się przy \(\displaystyle{ x^{17}}\)

Ogólniej:
\(\displaystyle{ W(x) = \sum_{k,l} {20 \choose k} \cdot {20-k \choose l} \cdot x^{5k+7l}}\)

Q.
ODPOWIEDZ