WKW - pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny

[szymek12]

Jakie warunki konieczne i wystarczające powinny spełniać liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a}\),\(\displaystyle{ b}\),\(\displaystyle{ c}\), aby wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}+ax ^{2}+bx+c}\) miał trzy pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny?

[Yaco_89]

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego np. jako \(\displaystyle{ a_1}\), a jego różnicę jako r. Wtedy wielomian ma postać
\(\displaystyle{ W(x)=(x-a_1)(x-a_0-r)(x-a_1-2r)}\) trzeba to wymnożyć i porównać liczby a, b i c ze współczynnikami przy \(\displaystyle{ x^2}\) i \(\displaystyle{ x}\) oraz z wyrazem wolnym.