Rozkladanie wielomianow na czynniki

[DrMate0]

Witam. Mam problem z ponizszymi zadaniami:

\(\displaystyle{ w(x)=x^{4}+1}\)
\(\displaystyle{ w(x)=4x^{4}+9}\)
\(\displaystyle{ w(x)=64x^{6}+1}\)
\(\displaystyle{ w(x)=x^{8}+1}\)

Prosilbym o wytlumaczenie w jaki sposob rozwiazywac przyklady podobnego typu. Z gory dziekuje.

[Inkwizytor]

Ponieważ w zbiorze liczb rzeczywistych te przykłady nie mają miejsc zerowych można tylko stosując pewien trik zamienić na postać częściowo iloczynową. No chyba że przejdziemy na zespolone wtedy to już inna para kapci.
\(\displaystyle{ w(x)=x^{4}+1=x^{4}+2x^2+ 1-2x^2=(x^2+1)^2 - ( \sqrt{2}x)^2= \\
(x^2 - \sqrt{2}x +1)(x^2 + \sqrt{2}x +1)}\)
Nic więcej nie da się zrobić.

[Hilda]

Analogicznie można postąpić z innymi przykładami. Świetna metoda, nigdy nie mogłam tego zrozumieć, a teraz już umiem przy okazji i ja. Dzięki za wszystko.

[DrMate0]

A ja nigdy nie rozumialem tej metody ... i nadal nie rozumiem

[Inkwizytor]

1. Dodajemy zero \(\displaystyle{ (+2x^2 - 2x^2)}\)
2. Grupujemy i stosujemy dla częsci zapisu wzór skróconego mnożenia
3. Mamy różnicę kwadratów więc stosujemy wzór na nią

[DrMate0]

Dalej jednak nie potrafie rozwiazac pozostalych przykladow ;/

[Inkwizytor]

Przez analogię.
2. \(\displaystyle{ w(x)=4x^{4}+9=(2x^2)^{2}+3^2=(2x^2)^{2}+2 \cdot ..... +3^2 - 2 \cdot ......}\)
Czego tu brakuje by móc zastosować wzór skróconego mnożenia tak jak w pierwszym przykładzie? Czym będzie a a czym b ze wzoru na kwadrat sumy?
I w ten sposób zabierasz się za kolejne przykłady

[Hilda]

Na przykład:

\(\displaystyle{ x^8{}+1= x^8{} + 2x^4{} + 1 - 2x^4{} =　\left( x^4{} + 1 \right)^2 - \left( \sqrt2{} x^2{} \right)^2 = ...}\)
Tak mi się wydaje przynajmniej, a dalej spróbuj sam.
Spróbuj inne analogicznie.