Dwukrotny pierwiastek wiloemianu

homerinio · Post autor: **homerinio** » 28 wrz 2009, o 11:57

Jak się do tego zabrać ?

Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x ^{3} +mx ^{2} -7x+n}\). Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 wrz 2009, o 12:03

Jak znasz schemat Hornera to z niego mozesz skorzystac. Slicznie wychodzi. A schemat Hornera ogolnie jest łatwy do opanowania więc mozna się go nauczyc jak się ma chwilę. Polecam

Brzytwa · Post autor: **Brzytwa** » 28 wrz 2009, o 12:05

Najprościej chyba ze wzorów Viete'a. Ponieważ wielomian posiada maksymalną liczbę pierwiastków (3), tak więc:

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{3}x_{2}=-7}\)

\(\displaystyle{ 1+x_{3}+x_{3}=-7}\)

\(\displaystyle{ 2x_{3}=-8}\)

\(\displaystyle{ x_{3}=-4}\)

homerinio · Post autor: **homerinio** » 28 wrz 2009, o 12:05

znam ale mi wychodzi wynik -2 zamiast -4.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 wrz 2009, o 12:07

Mi wychodzi \(\displaystyle{ -4}\). Pokaz jak liczysz to znajdziemy błąd.

homerinio · Post autor: **homerinio** » 28 wrz 2009, o 12:09

czyli ten wielomian musze podzielić przez x-1 i potem wynik znowu przez x-1 tak?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 wrz 2009, o 12:12

No ja tam w dzielenie się nawet nie bawiłem. Narysowalem tabelkę i wykorzystałem ten schemat. Na koniec wyszlo mi , że:
\(\displaystyle{ 2m-4=0}\)
\(\displaystyle{ m=2}\)
I po uwzględnieniu, że mamy dwa pierwiastki pozostał mi tylko taki wielomian(reszta nie jest istotna dla zadania):
\(\displaystyle{ (x+ (2+m))}\)
Dzielic oczywiscie mozesz jak wolisz.

homerinio · Post autor: **homerinio** » 28 wrz 2009, o 12:13

no mi też wyszło m = 2 jak liczyłem to skąd odpowiedz - 4 ?

Brzytwa · Post autor: **Brzytwa** » 28 wrz 2009, o 12:15

miodzio1988 pisze:No ja tam w dzielenie się nawet nie bawiłem. Narysowalem tabelkę i wykorzystałem ten schemat.

Przecież to jest to samo schemat hornera to dzielenie wielomianów. Tylko liczy się troszkę inaczej, jednym wygodniej, innym mniej.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 wrz 2009, o 12:29

homerinio pisze:no mi też wyszło m = 2 jak liczyłem to skąd odpowiedz - 4 ?

Zostal nam taki wielomian:
\(\displaystyle{ (x+ (2+m))}\)
zatem jest on postaci:
\(\displaystyle{ (x+4)}\)
Przyrownujemy do zera:
\(\displaystyle{ x+4=0 \Rightarrow x=-4}\)
I juz.

Brzytwa pisze:Przecież to jest to samo schemat hornera to dzielenie wielomianów. Tylko liczy się troszkę inaczej, jednym wygodniej, innym mniej.

No to jest to samo. Moze zle się wyrazilem (tzn NA PEWNO się zle wyrazilem) Tylko dzielenie to mi się kojarzy z ...dzieleniem Tzn zawsze mi się dzielenie tych wielomianow paskudne wydawalo dlatego wolę jechac Hornerem jak się da;]
homerinio
Juz wszystko jasne?

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 28 wrz 2009, o 14:21

homerinio pisze:Jak się do tego zabrać ?

Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x ^{3} +mx ^{2} -7x+n}\). Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.

Można też inaczej:
Na podstawie danych łatwo zauważyć iż \(\displaystyle{ (x-1)^2(x+n)=x ^{3} +mx ^{2} -7x+n}\) czyli
\(\displaystyle{ f(1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ f(-n)=0}\)stąd:
\(\displaystyle{ f(1)=1+m-7+n=0 \rightarrow m=6-n \\
f(-n)=-n^3 +mn^2 +7n +n =0 \rightarrow -n^3 +(6-n)n^2 +8n=0 \rightarrow \\
-2n^3+6n^2 + 8n = 0 \rightarrow -2n(n^2 -3n-4)=0 \rightarrow -2n(n-4)(n+1)=0}\)
I można odczytać n i zweryfikować.
Mozna jeszcze na tym etapie: \(\displaystyle{ (x-1)^2(x+n)=x ^{3} +mx ^{2} -7x+n}\) zrobic tak:
\(\displaystyle{ (x^2 - 2x+1)(x+n) = ...}\)
wymnażamy grupujemy i przyrównujemy wielomiany do siebie.

homerinio · Post autor: **homerinio** » 28 wrz 2009, o 16:24

Podzieliłem ten wilomian najpierw przez (x-1) i potem wynik znowu przez (x-1) z reszty wyznaczyłem m i potem z drugiego wyniku wyznaczyłem x i wyszło -4. tak też będzie ok?