podzielność wielomianu dla k naturalnego

[szymek12]

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) wielomian \(\displaystyle{ P(x)=(x ^{4}-1)(x ^{3}-x ^{2}+x-1) ^{k} +(x+1)x ^{4k-1}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x ^{5}+1}\).

[frej]

Pokaż, że każdy zespolony pierwiastek piątego stopnia z jedynki jest rozwiązaniem. Trzeba będzie jeszcze skorzystać z de Moivre'a i kątów połówkowych.

Ewentualnie można spróbować indukcyjnie po \(\displaystyle{ k}\) ale nie wiem, jak to wyjdzie ...