Wykaż że wielomian ma trzy miejsca zerowe jeżeli ...

[urchin]

Współczynniki a,b,c ,d wielomianu
\(\displaystyle{ W(x) = a x^{3}-bx ^{2} -cx +d}\)
tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r.
Wykaż, że jeżeli ar > 0, to wielomian W(x) ma trzy miejsca zerowe.

Proszę o rozwiązanie.

[klaustrofob]

niech \(\displaystyle{ a_1=a, b=a_2=a+r\ldots}\) itd. zauważmy, że \(\displaystyle{ W(1)=a-(a+r)-(a+2r)+a+3r=0}\). wykonując dzielenie wielomianu W przez dwumian (x-1) mamy, że \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(ax^2-rx-(a+3r))}\) wyróżnik trójmianu w nawiasie jest równy \(\displaystyle{ r^2+4a^2+3ar}\) i zgodnie z założeniem jest dodatni, czyli trójmian ma dwa różne pierwiastki - widać też, że żaden z nich nie jest równy 1. czyli nasz wielomian ma 3.

[urchin]

Nie wszystko rozumiem, muszę trochę nad tym posiedzieć.
Dzięki pozdrawiam


Siedziałem nad tym zadaniem kilka godzin i nie mogę go rozwiązać?

W(1)=0 OK.

Wyróżnik trójmianu kwadratowego \(\displaystyle{ \Delta=b^{2} - 4ac}\)

więc chyba \(\displaystyle{ \Delta=r^{2}+4a^{2}+12ar}\)..może to akurat nie ma znaczenia

Wykaż, że jeżeli ar > 0, to wielomian W(x) ma trzy miejsca zerowe.jak to uzasadnić ?

czy tylko tak że jeżeli ar >0 to /Delta musi być dodatnia i wtedy muszą być dwa miejsca zerowe?