Dla jakich wartości parametru

[monis_1992]

Dla jakich wartości parametru a wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{2} + 12x + a}\) jest kwadratem wielomianu stopnia drugiego?

[Gacuteek]

\(\displaystyle{ (ax^{2}+bx+c)^{2}=a^{2}x^{4}+abx^{3}+acx^{2}+abx^{3}+b^{2}x^{2}+bcx+acx^{2}+bcx+c^{2}=a^{2}x^{4}+2abx^{3}+(2ac+b^{2})x^{2}+2bcx+c^{2}= x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{2} + 12x + a}\)

z tego wynika:
a=1
b=2
c=3

\(\displaystyle{ c^{2}=9}\) - w tym przypadku to twoja szukana "a"=9

[Citizen]

Więc tak:

Ma być kwadratem wielomianu stopnia drugiego. Zauważasz, że ten wielomian stopnia drugiego będzie miał współczynnik 1 przy \(\displaystyle{ x^{2}}\), a wyraz wolny będzie równy \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\), aby po podniesieniu do kwadratu otrzymać a.

Wielomian ten będzie wyglądał więc tak:

\(\displaystyle{ x^{2}+bx+ \sqrt{a}}\)

Podnosimy do kwadratu

\(\displaystyle{ (x^{2}+bx+ \sqrt{a})^{2}}\)

\(\displaystyle{ x^{4}+2bx^{3}+(b^{2}+2 \sqrt{a})x^{2}+2b \sqrt{a}x+a}\)

No i teraz kiedy 2 wielomiany są sobie równe? Kiedy wszystkie ich współczynniki przy danych "x" są równe.

porównuj z tym wielomianem z treści zadania 2b=4 ==> b=2 i tak dalej. W ten sposób wylicz a.

Pozdrawiam

[piasek101]

Zauważasz, że ten wielomian stopnia drugiego będzie miał współczynnik 1 przy \(\displaystyle{ x^{2}}\)...

Zgodzę się, że to najłatwiejszy przypadek (i wystarczy nim się zająć) ale takich wielomianów (kwadratowych) jest nieskończona ilość np \(\displaystyle{ (0,5x^2..........)(2x^2.........)}\)

[edit] Przepraszam za zamieszanie.
Powyższe nie działa w tym zadaniu (nie doczytałem treści) - myślałem (co widać) o iloczynie a nie kwadracie..

[monis_1992]

Dziękuje za pomoc:)