Trzy pierwiastki rzeczywiste
-
szymek12
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
Trzy pierwiastki rzeczywiste
Przy jakich wartościach \(\displaystyle{ p}\),\(\displaystyle{ q}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{5} +px+q=0}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste?
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Trzy pierwiastki rzeczywiste
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^5+px+q}\) oraz jej pochodną \(\displaystyle{ f'(x)=5x^4+p}\).
Wynika stąd, że musi być \(\displaystyle{ p<0}\), gdyż w przeciwnym razie z kryterium monotoniczności funkcji wynikałoby, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnąca i w konsekwencji miałaby dokładnie jedno miejsce zerowe.
Mamy \(\displaystyle{ 0=5x^4+p=(\sqrt{5}x^2-\sqrt{-p})(\sqrt{5}x^2+\sqrt{-p})=(\sqrt[4]{5}x-\sqrt[4]{-p})(\sqrt[4]{5}x+\sqrt[4]{-p})(\sqrt{5}x^2+\sqrt{-p})}\).
Ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f}\) są osiągane w punktach \(\displaystyle{ x_1=-\sqrt[4]{\frac{-p}{5}}, x_2=\sqrt[4]{\frac{-p}{5}}}\).
Wystarczy teraz (sprawdź sporządzając przykładowy rysunek), by \(\displaystyle{ f(x_1)f(x_2)<0}\) (tj. by ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f}\) były przeciwnych znaków).
Wynika stąd, że musi być \(\displaystyle{ p<0}\), gdyż w przeciwnym razie z kryterium monotoniczności funkcji wynikałoby, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnąca i w konsekwencji miałaby dokładnie jedno miejsce zerowe.
Mamy \(\displaystyle{ 0=5x^4+p=(\sqrt{5}x^2-\sqrt{-p})(\sqrt{5}x^2+\sqrt{-p})=(\sqrt[4]{5}x-\sqrt[4]{-p})(\sqrt[4]{5}x+\sqrt[4]{-p})(\sqrt{5}x^2+\sqrt{-p})}\).
Ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f}\) są osiągane w punktach \(\displaystyle{ x_1=-\sqrt[4]{\frac{-p}{5}}, x_2=\sqrt[4]{\frac{-p}{5}}}\).
Wystarczy teraz (sprawdź sporządzając przykładowy rysunek), by \(\displaystyle{ f(x_1)f(x_2)<0}\) (tj. by ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f}\) były przeciwnych znaków).