pierwiastek wielokrotny wielomianu

[szymek12]

Dowieść, że liczba \(\displaystyle{ p}\) jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ W(p)=0}\) i \(\displaystyle{ W'(p)=0}\).
Mam dowód nie wprost, potrzebuje jeszcze tylko dowodu wprost.

[kp1311]

Jeśli p jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ k}\)-krotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wówczas możemy sobie ten wielomian przedstawić w postaci \(\displaystyle{ W(x) = (x - p)^{k} \cdot Q(x), Q(p) \neq 0}\).

Liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ W'(x) = ((x - p)^{k})'Q(x) + Q'(x)(x - p)^{k}}\)
\(\displaystyle{ W'(x) = k(x - p)^{k-1}Q(x) + Q'(x)(x - p)^{k}}\)
I teraz liczymy wartość pochodnej w punkcie \(\displaystyle{ p}\) i dostajemy \(\displaystyle{ W(p) = 0}\), zastrzeżenia: \(\displaystyle{ k \in N \wedge k > 1}\).

[Nakahed90]

Jeśli p jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ k}\)-krotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wówczas możemy sobie ten wielomian przedstawić w postaci \(\displaystyle{ W(x) = (x - p)^{k} \cdot Q(x), Q(p) \neq 0}\).

Liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ W'(x) = ((x - p)^{k})' + Q'(x)(x - p)^{k}}\)
\(\displaystyle{ W'(x) = k(x - p)^{k-1} + Q'(x)(x - p)^{k}}\)
I teraz liczymy wartość pochodnej w punkcie \(\displaystyle{ p}\) i dostajemy \(\displaystyle{ W(p) = 0}\), zastrzeżenia: \(\displaystyle{ k \in N \wedge k > 1}\).

Powinno być:
\(\displaystyle{ W'(x) = Q(x)((x - p)^{k})' + Q'(x)(x - p)^{k}}\)