Równanie wielomianowe

[AZS06]

Wyznacz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ x}\), dla których wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{x^4 - 4x^2 + x + 6}{x+2}}\) jest liczbą całkowitą.

[pipol]

Oznaczmy \(\displaystyle{ W(x)=x^4 -4x^2 +x+6}\) . Z twierdzenia Bezout mamy, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x+2}\) wynosi \(\displaystyle{ W(-2)=4}\). Zatem aby napisane przez Ciebie wyrażenie przyjmowało wartość całkowitą dla całkowitych \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ x+2}\) musi być dzielnikiem \(\displaystyle{ 4}\). Co jest prawdą dla \(\displaystyle{ x=-6,-4,0,2}\).