Wykazać w funkcji

[Uzo]

Dana jest funkcja
\(\displaystyle{ f(x) = ax ^3 +bx^2 +cx+d}\) ( \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb Z}\) )

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ f(0)}\) i \(\displaystyle{ f(1)}\) są liczbami nieparzystymi, to równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

[Olo]

\(\displaystyle{ f(0)=d}\), więc przyjmijmy, że \(\displaystyle{ d=2n+1}\)
\(\displaystyle{ f(1)=a+b+c+d=a+b+c+2n+1}\), co oznacza, że albo \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wszystkie parzyste, albo dwie z nich są nieparzyste.
Mamy udowodnić, że równanie:
\(\displaystyle{ ax^3 +bx^2 +cx=-d}\) nie ma pierwiastków całkowitych, czyli:
\(\displaystyle{ ax^3 +bx^2+cx=-2n-1}\), jeśli wszystkie współczynniki są parzyste, to lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, jeśli dwa z nich są nieparzyste, to lewa strona jest parzysta a prawa nieparzysta (sprawdź oddzielnie dla \(\displaystyle{ x}\)-ów nieparzystych i parzystych) Co dowodzi tezę.

[Tomasz Rużycki]

Juz bylo.

Tutaj.