Rozkład wielomianu na czynniki.

[Dabekk]

Dobry wieczór!

Przejdę do rzeczy, mam wieeelki problem. Jutro mam klasówkę z Rozkładu wielomianu na czynniki.
Bardzo trudno przychodzi mi używanie wzorów skróconego mnożenia (szczególnie ,,odwracanie" ich).
Zadania, które nauczyciel zalecił nam zrobić w domu na pewno znajdą się na kartkówce. Tutaj pojawia się moja prośba, postaram się je wykonać a jeżeli zauważycie jakiś błąd lub stanę w martwym miejscu proszę o łopatologiczne wytłumaczenie. Z góry dziękuję!

Zad 1. Rozłóż wielomian w na czynniki.
a) \(\displaystyle{ w(x) = -12x^{5} + 12^{3} - 3x = -3x(-4^{4}-4^{2}+1) = ?}\)
b) \(\displaystyle{ w(x) = x^{6} - 18x^{4}+81x^{2} = x^{2}(x^{4}-18x^{2}+81) = ?}\)
c) \(\displaystyle{ w(x) = -x^{4}-64x=-x(x^{3}+64) = ?}\)
d) \(\displaystyle{ w(x) = 125x^{8}-x^{5} = -x^{5}(-125x^{3}) = ?}\)

dalej zadanie dot. użycia grupowania wyrazów, które o dziwo potrafię zrobić .
PS. znacie może jakieś łatwe sposoby ,,odwracania" wzorów skróconego mnożenia?

[ppolciaa17]

c) d) to są prote do zapamietania wzory
\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}= (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}\)
\(\displaystyle{ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}\) trzeba zapamiętać ze w pierwszym nawiasie jest suma lub różnica liczb a w drugim niepełny kwadrat tych liczb a znaki to na odwrót zawsze.. jest \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}}\) to w pierwszym nawiasie plus a w drugim przy ab minus.. \(\displaystyle{ a^{3}-b^{3}}\) w pierwszym nawiasie minus a w drugim same plusy ja jakoś tak się nauczyłam ;]

c) \(\displaystyle{ -x(x^{3}+64)=-x(x+4)(x^{2}-4x+16)}\)
d) \(\displaystyle{ x^{5}(125x^{3}-1)= x^{5}(5x-1)(25x^{2}+5x+1)}\)

[Dabekk]

PS.
jednak potrafię się wyłożyć na grupowaniu.

np:
d) \(\displaystyle{ w(x) = x^{4} - 3x^{3} + x-3= x^{3}(x-3)+(x-3)=(x-3)(x^{3}) = ?}\)

[ppolciaa17]

\(\displaystyle{ w(x) = x^{4} - 3x^{3} + x-3= x^{3}(x-3)+(x-3)=(x-3)(x^{3}+1) = (x-3)(x+1)(x^{2}-x+1)}\)

[mathX]

b)

\(\displaystyle{ W(x)=x^{6}-18x^{4}+81x^{2}=x^{2}(x^{4}-18x^{2}+81)=x^{2}((x^{2})^2-2 \cdot 9 \cdot x^{2}+9^{2})=x^{2}(x^{2}-9)^{2}=x^{2}(x-3)(x+3)(x-3)(x+3)}\)

[ppolciaa17]

a) \(\displaystyle{ w(x) = -12x^{5} + 12^{3} - 3x = -3x(4x^{4}-4x^{2}+1) = ?}\)
b) \(\displaystyle{ w(x) = x^{6} - 18x^{4}+81x^{2} = x^{2}(x^{4}-18x^{2}+81) = ?}\)

za pomocą podtsawiania \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) przy czym trzeba pamiętać ze t>0 musi być

\(\displaystyle{ 4t^{2}-4t+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16-16}\)
\(\displaystyle{ t_{0}= \frac{-b}{2a}= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}= x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee x=- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ w(x)=...= -3x(x- \frac{ \sqrt{2} }{2} )(x+ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

[Dabekk]

Dziękuję Wam, jesteście świetni! Nagle dzięki Waszej pomocy olśniło mnie i wszystko wydało się takie proste... zrobiłem całe dwa kolejne zadania bezbłędnie:).

Dziękuję jeszcze raz i pozdrawiam!!

[Inkwizytor]

a) \(\displaystyle{ w(x) = -12x^{5} + 12^{3} - 3x = -3x(4x^{4}-4x^{2}+1) = ?}\)
b) \(\displaystyle{ w(x) = x^{6} - 18x^{4}+81x^{2} = x^{2}(x^{4}-18x^{2}+81) = ?}\)

za pomocą podtsawiania \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) przy czym trzeba pamiętać ze t>0 musi być

Ten warunek (t>0 - jeśli już to \(\displaystyle{ t \ge 0}\)) ma znaczenie przy liczeniu pierwiastków równania. Natomiast nie ma znaczenia przy przekształcaniu w postać iloczynową.

Przykład (w wersji skróconej) t=-3 t=4, stąd
\(\displaystyle{ (t+3)(t-4) = (x^2 + 3)(x^2-4)=(x^2 + 3)(x-2)(x+2)}\)