Równanie z pierwiastkami

[kamis2859]

\(\displaystyle{ \sqrt{x-1+ \sqrt{x+2} }=3}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+3x-18+4 \sqrt{x ^{2}+3x-6}=0}\)

[anna_]

1.
Podnieś obustronnie do kwadratu, potam przenieś wyraz z pierwiastkiem na jedną stronę, a pozostałe na drugą stronę i znowu podnieś obustronnie do kwadratu

2.
wyraz z pierwiastkiem na jedną stronę, pozostałe na drugą i podnieś obustronnie do kwadratu

Nie zapomnij o dziedzinie.

[bulwiarz]

przepraszam że odgrzebuję, ale jak wyznaczyć w pierwszym przykładzie dziedzinę
o tak ?
\(\displaystyle{ x-1+ \sqrt{x+2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ {x+2} \ge 0}\)

[bakala12]

\(\displaystyle{ {x+2} \ge 0}\)

o tak

[piasek101]

\(\displaystyle{ {x+2} \ge 0}\)

o tak

A treść zadania - pierwszy post ?

2) Zrobiłbym tak (po ustaleniu dziedziny) :

\(\displaystyle{ t=x^2+3x-6}\) po podstawieniu mamy \(\displaystyle{ t^2-12+4t=0}\)

[osa750]

Zakładam, że NIE JEST to układ równań, tylko dwa osobne zadania.

Zadanie I:

1) Wyznaczam dziedzinę:

Po pierwsze:

\(\displaystyle{ x-1+\sqrt{x+2} \ge 0

x-1 \ge -\sqrt{x+2}}\)

Podnoszę obustronnie do kwadratu

\(\displaystyle{ x^2-2x+1 \ge x+2

x^2-3x-1 \ge 0

\sqrt{\delta} = \sqrt{13}}\)

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})*(2x-[3-\sqrt{13}])(2x-[3+\sqrt{13}]) \ge 0}\)

Przepraszam za tak brzydką formę, ale jak próbowałem dać tradycyjną (x-a)(x-b) >> 0 to coś się latex ze mną dogadać nie chciał ;/

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ; \frac{3 - \sqrt{13} }{2}) \cup ( \frac{3 + \sqrt{13} }{2};+ \infty)

D = (- \infty ; \frac{3 - \sqrt{13} }{2}) \cup ( \frac{3 + \sqrt{13} }{2};+ \infty)}\)

Po wtóre:

\(\displaystyle{ x+2 \ge 0

x \ge -2}\)

czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ; \frac{3 - \sqrt{13} }{2}) \cup ( \frac{3 + \sqrt{13} }{2};+ \infty)}\)

2)Rozwiązuję równanie:

\(\displaystyle{ \sqrt{x-1 +\sqrt{x+2}}=3}\)

Podnoszę obustronnie do kwadratu

\(\displaystyle{ x-1+ \sqrt{x+2} = 9

\sqrt{x+2} = 10 - x}\)

Podnoszę obustronnie do kwadratu po raz wtóry i przerzucam wszystko na jedną stronę

\(\displaystyle{ x^2-21x+98=0

\delta = 49 \Rightarrow \sqrt{\delta } = 7

(x-7)(x-14)=0 \Leftrightarrow x=7 \vee x=14}\)

\(\displaystyle{ (x=7 \vee x=14) \wedge x \in D \Rightarrow x=7 \vee x=14}\)

Dobrze?

PS: przepraszam, ale nie wiem jak się pisze tą deltę co jak trójkącik wygląda ^^

Zadanie II:

1)Wyznaczam dziedzinę

\(\displaystyle{ x^2+3x-6 \ge 0

\sqrt{\delta} = \sqrt{33}}\)

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})*(2x-[-3-\sqrt{33}])(2x-[-3 + \sqrt{33}]) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ;\frac{-3- \sqrt{33} }{2})( \frac{-3 +\sqrt{33} }{2} ; +\infty)

D=(- \infty ;\frac{-3- \sqrt{33} }{2})( \frac{-3 \sqrt{33} }{2} ; +\infty)}\)

2)Rozwiązuję równanie

\(\displaystyle{ x^2+3-18 + 4 \sqrt{x^2+3x-6} = 0}\)
przerzucam pierwiastek na drugą stronę i podnosze obustronnie do kwadratu
\(\displaystyle{ x^4+9x^2 +324 +6x^3 - 108x -36x^2 = 16x^2 +48x-96

x=-5

x=2

x=1/2(-3 - \sqrt{177})

x=1/2(-3 + \sqrt{177})}\)

i uwzględnić dziedzinę

Szczerze mówiąc coś brzydkie te liczby. Albo ja się gdzieś walnąłem, albo treść zadania źle przepisana

[florek177]

1.
Dziedzina:
\(\displaystyle{ x - 1 + \sqrt{x + 2 } \ge 0 \,\,\,}\) ; ---> \(\displaystyle{ \sqrt{x + 2 } \ge 1 - x}\);

aby podnieść stronami do kwadratu należy określić przedział, gdzie wyrażenie jest dodatnie i określone;

\(\displaystyle{ 1 - x > 0 \,\,\,}\) --> \(\displaystyle{ x < 1 \wedge x \ge -2}\);

po obliczeniu pierwiastków wyrażenia: \(\displaystyle{ x^2 - 3x - 1 \le 0 \,\,\, ( x_{1} < x_{2}) \,\,\,}\) - nanosimy na wspólną oś o określamy dziedzinę dla tego przypadku:

\(\displaystyle{ x_{1} \le x < 1}\);

Badamy wyrażenie dla \(\displaystyle{ x \ge 1 \,\,\,}\) --> spełnione dla wszystkich x;

ostatecznie dziedziną jest: \(\displaystyle{ \,\,\,( x \ge x_{1} ; )}\)

Rozwiązujemy równanie - stronami do kwadratu:

\(\displaystyle{ x - 1 + \sqrt{x + 2 } = 9 \,\,\,}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x + 2 } = 10 - x \,\,\,}\) ;

założenie jak wyżej: \(\displaystyle{ 10 - \ x > 0 \,\,\, --> x < 10 \,\,\,}\) --> stronami do kwadratu:

\(\displaystyle{ x^2 - 21 x + 98 = 0 \,\,\,\, --> x_{1} = 7; x_{2} = 14}\)

rozwiązanie: \(\displaystyle{ \,\,\, x = 7}\)