Trudne zadania na dowodzenie...

BrYcH · Post autor: **BrYcH** » 9 kwie 2006, o 21:34

1. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej x wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{5}-5x^{3}+4x}\) jest liczbą podzielną przez 120.

2. Uzasadnij, że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2006^{3}}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

3. Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+px+q}\) ma trzy pierwiastki, to p jest liczbą ujemną.

Ad.1 No w tym wiem, że należy wyciągnąć x przed nawias, a następnie podstawić za x^2=t. Tylko co dalej...

Rogal · Post autor: **Rogal** » 9 kwie 2006, o 22:06

Rozłożyć na czynniki, wrócić do iksa, znowu rozłożyć i zauważyć, co powstało.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 9 kwie 2006, o 22:27

2. Lewa stona dzieli sie przez 3, prawa nie.

3. Na mocy twierdzenia Viete'a mamy:

\(\displaystyle{ (x_1+x_2+x_3)^2 = x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) = x_1^2+x_2^2+x_3^2+2p =0}\), chyba teraz widac.

BrYcH · Post autor: **BrYcH** » 13 kwie 2006, o 16:13

Tomasz Rużycki pisze:2. Lewa stona dzieli sie przez 3, prawa nie.

A można by to jakoś szerzej wyjaśnić bo jakoś nie potrafię tego faktu połączyć z poleceniem w zadaniu

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 13 kwie 2006, o 18:54

hmm...

x(x+1)(x+2) jako iloczyn trzech liczb calkowitych dzieli sie przez 6, wiec w szczegolnosci przez 3, a 2006 nie dzieli sie przez 3, wiec tym bardziej nie zachodzi 3|2006^3, bo 3 jest liczba pierwsza.