Znalezienie pierwiastków wielomianu

liptontee · Post autor: **liptontee** » 14 wrz 2009, o 20:59

znajdź pierwiastki wielomianu:
a) \(\displaystyle{ W(x)=x^3-5x-4}\)
b) \(\displaystyle{ W(x)=x^3-6x+4}\)

proszę o pomoc;)

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 14 wrz 2009, o 21:01

twierdzenie o pierwiastkach wymiernych chyba się przyda

Kibu · Post autor: **Kibu** » 14 wrz 2009, o 21:04

Jest takie twierdzenie, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=a_n x^n+...+a_0}\) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), to p dzieli \(\displaystyle{ a_0}\), a \(\displaystyle{ q|a_n}\). W pierwszym można w ten sposób znaleźć pierwiastek -1, potem dzielisz Hornerem i masz równanie kwadratowe. W drugim w ten sam sposób znajdujesz 2, dzielisz Hornerem i rozwiązujesz kwadratowe.

liptontee · Post autor: **liptontee** » 14 wrz 2009, o 21:07

możesz bardziej wytłumaczyć bo nie rozumiem:(
proszę zrób pierwszy przykład

Kibu · Post autor: **Kibu** » 14 wrz 2009, o 21:39

Stopień jest większy niż 2, więc pierwszy pierwiastek najlepiej po prostu zgadnąć. Zawsze zaczynamy szukać od wymiernych. Dobrymi kandydatami są dzielniki -4, czyli 1,-1,2, -2, 4 i -4. Sprawdzamy i okazuje się, że -1 pasuje. Teraz dzielimy wielomian przez dwumian (x+1), najszybciej się to robi tabelką Hornera (nadaje się tylko do dzielenia W(x) przez dwumian postaci x+b). Taka tabelka ma dwa wiersze. W pierwszym wpisujesz współczynniki wyjściowego wielomianu (w naszym przypadku 1,0, -5,-4). Ważnym jest, żeby pamiętać o tym 0 jako współczynniku przy drugiej potędze. Następnie spisujesz liczbę z pierwszego pola do dołu-czyli mamy w pierwszej kolumnie w drugim wersie 1. Kolejne pole uzupełniasz, mnożąc pierwsze pole przez -b, czyli w naszym przypadku -1 i dodając pole drugie z góry. Mamy więc w drugim polu drugiego wersu -1. Trzecie pole drugiego wrsu-analogicznie: \(\displaystyle{ -1\cdot (-1)+(-5)=-4}\), a w czwartym polu:\(\displaystyle{ -4\cdot(-1)-4=0}\). W ostatnim polu powinno wyjść 0. Następnie odczytujesz współczynniki 1,-1,4.

Zatem \(\displaystyle{ W(x)=x^3-5x-4=(x+1)(x^2-x+4)}\).Trochę to pokręciłam, ale jak to sobie zrobisz na kartce, to Ci wyjdzie bardzo prosto. No, a dwa pozostałe pierwiastki, to już z delty liczysz, bo masz równanie kwadratowe. W tym przypadku jest ujemna, więc wielomian ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 14 wrz 2009, o 21:44

a) \(\displaystyle{ x^3-5x-4=x^3-x-4x-4=x(x^2-1)-4(x+1)=x(x-1)(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-x-4)}\)
Teraz należy też rozłożyć trójmian \(\displaystyle{ x^2-x-4}\) na czynniki liniowe...