Zadania maturalne - wielomiany

szymek · Post autor: **szymek** » 14 wrz 2009, o 18:38

Dane są wielomiany\(\displaystyle{ P(x)=5x-4, Q(x)=6x+5, S(x)=3 x^{2}+2x+1}\). Wielomian V(x) jest iloczynem wielomianów P(x) i Q(x), a wielomian W(x) jest iloczynem wielomianów P(x),Q(x) i S(x).

b) Wyznacz wszystkie liczby b, dla których zachodzi równość W(b)=V(b)

Porównałem, wymnożyłem wyszedł wielomian stopnia 4, więc wyłączyłem przed nawias i zostało mi x=0 lub wielomian stopnia 3 równy 0, nie wiem jak robić dalej ogólnie jak rozwiązać wielomian, więc prosił bym o przejżysty sposób rozwiązania. Z góry bardzo serdecznie dziękuję.

zex · Post autor: **zex** » 14 wrz 2009, o 19:30

Ja bym to widział tak:
\(\displaystyle{ (5x-4)(6x+5)=(5x-4)(6x+5)(3x^2+2x+1}\)
Wielomiany P i Q mają miejsca zerowe w \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) i \(\displaystyle{ -\frac{5}{6}}\). Czyli dla takich liczb mamy równość.
Pomijając powyższe rozwiązania możemy podzielić równanie obustronnie przez iloczyn wielomianów P i Q. Otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ 1=3x^2 +2x+1}\),
którego rozwiązania to: 0 i \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}}\).
Czyli szukane b to: \(\displaystyle{ 0, -\frac{2}{3},frac{4}{5},-\frac{5}{6}}\)

szymek · Post autor: **szymek** » 14 wrz 2009, o 20:39

W zasadzie też tak to rozbrajałem, ale... czy mamy pewność ze wyrażenie przez które dzielimy nie jest równe 0? w tym wypadku nam się udało, ale nie zawsze chyba będzie można z tego skorzystać, chociaż jest to pierwsza myśl gdy zobaczymy podobny przykład. Dzieki

zex · Post autor: **zex** » 15 wrz 2009, o 10:26

Pewność mamy, bo najpierw znaleźliśmy miejsca zerowe wielomianów P i Q, czyli ich iloczynu też. Innych miejsc zerowych nie mają. Wiec możemy dzielić, zakładając, że odrzucamy z dziedziny równania obliczone miejsca zerowe...