Liczba pierwsza współczynnikiem wielomianu

amtam · Post autor: **amtam** » 14 wrz 2009, o 14:30

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} +4x+p}\) gdzie p jest liczba pierwsza. Wyznacz p wiedząc że W(x) ma pierwiastek całkowity.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 14 wrz 2009, o 15:00

pierwiastek całkowity wielomianu o wsp. całkowitych musi być dzielnikiem wyrazu wolnego. p, jako liczba pierwsza ma tylko cztery podzielniki: -p, -1, 1, p. ale 1 i p odpadają (W(1)>0, W(p)>0). dla -1 mamy 0=W(-1)=-5+p, skąd p=5. dla -p: 0=W(-p)=-p^3-4p+p=-p^3-3p. czyli -p^2=3 - niemożliwe. zatem p=5.

At123 · Post autor: **At123** » 14 wrz 2009, o 15:16

a jesli p=5, to czemu nie moze byc p= -5, bo wtedy:
\(\displaystyle{ w(x)= x^3+4x-5\\w(1)=1+4-5=0}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 wrz 2009, o 15:18

amtam pisze:Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} +4x+p}\) gdzie p jest liczba pierwsza. Wyznacz p wiedząc że W(x) ma pierwiastek całkowity.

Możesz też skorzystac ze schematu Hornera. Nie wiem czy tego uczą teraz, ale ladnie wychodzi z tego

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 14 wrz 2009, o 17:03

At123, jeżeli p=5, to jak może być p=-5? przegapiłem jakąś uchwałę sejmu?

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 15 wrz 2009, o 09:33

At123, \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.