wielomiany i dwumiany

[andrzej1973]

1. Ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{4} - 3 x^{3} - 1}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\). Z góry dziękuję

[Kibu]

Uogólnione tw. Beouzuta"
Wartość wielomianu w punkcie W(a) jest równa reszcie z dzielenia W(x) przez dwumian x − a.

Czyli bodaj -9.

[andrzej1973]

Ile wynosi współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) w rozwinięciu dwumianu \(\displaystyle{ \left(x \sqrt{x} + \frac{2}{ x^{2} } \right) ^{6}}\)

[Inkwizytor]

Zastosuj rozwinięcie wzoru: \(\displaystyle{ (a+b)^n}\)

[czeslaw]

Wskazówka:    

Wzór dwumianowy Newtona

[andrzej1973]

Uogólnione tw. Beouzuta"
Wartość wielomianu w punkcie W(a) jest równa reszcie z dzielenia W(x) przez dwumian x − a.

Czyli bodaj -9.

Nie rozumiem tego zagadnienia i nie bardzo wiem jak do tego dojść.

[Kibu]

Zgodnie z tw. po prostu podstawiasz x=2.
\(\displaystyle{ 2^4-3\cdot 2^3-1=2\cdot 8-3\cdot 8-1=-1\cdot 8-1=-9}\)

[andrzej1973]

Zastosuj rozwinięcie wzoru: \(\displaystyle{ (a+b)^n}\)

zastosowałem rozwinięcie wzoru, wyszło mi cos takiego:
\(\displaystyle{ \left(x \sqrt{x} \right) ^{6}+x \sqrt{x} \left( \frac{2}{ x^{2} } \right) ^{5}+ \frac{2}{ x^{2} } \left( x \sqrt{x} \right) ^{5}+ \frac{2}{ x^{2} } ^{6}}\) ile wynosi współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\)

[miki999]

Masz problem z działaniami na potęgach?
\(\displaystyle{ \sqrt{x} =x^{ \frac{1}{2}} \\ a^b \cdot a^c=a^{b+c} \\ a^b : a^c =a^{b-c} \\ (a^b)^c=a^{b \cdot c}}\)



Pozdrawiam.

[andrzej1973]

Masz problem z działaniami na potęgach?
\(\displaystyle{ \sqrt{x} =x^{ \frac{1}{2}} \\ a^b \cdot a^c=a^{b+c} \\ a^b : a^c =a^{b-c} \\ (a^b)^c=a^{b \cdot c}}\)



Wykorzystałem wskazówkę ale znów się zablokowałem, wyszło mi cos takiego:
\(\displaystyle{ x^{9} + \frac{ 32x^{ \frac{15}{2} } }{x ^{10} }+ \frac{ 2x^{ \frac{15}{2} } }{ x^{2} } + \frac{64}{ x^{12} }}\)

[miki999]

\(\displaystyle{ x^{9} + \frac{ 32x^{ \frac{15}{2} } }{x ^{10} }+ \frac{ 2x^{ \frac{15}{2} } }{ x^{2} } + \frac{64}{ x^{12} }}\)

Czyli wynosi \(\displaystyle{ 0}\), bo pierwszy i ostatni wyraz \(\displaystyle{ \neq ax^2}\), a drugi i trzeci wyraz, to odpowiednio: \(\displaystyle{ 32x^{ \frac{15}{2}-10} \neq ax^2}\) oraz \(\displaystyle{ 64x^{-12} \neq ax^2}\)



Pozdrawiam.

[andrzej1973]

\(\displaystyle{ x^{9} + \frac{ 32x^{ \frac{15}{2} } }{x ^{10} }+ \frac{ 2x^{ \frac{15}{2} } }{ x^{2} } + \frac{64}{ x^{12} }}\)

Czyli wynosi \(\displaystyle{ 0}\), bo pierwszy i ostatni wyraz \(\displaystyle{ \neq ax^2}\), a drugi i trzeci wyraz, to odpowiednio: \(\displaystyle{ 32x^{ \frac{15}{2}-10} \neq ax^2}\) oraz \(\displaystyle{ 64x^{-12} \neq ax^2}\)


czyli każdy wyraz mam przyrównać do \(\displaystyle{ a x^{2}}\)
Pozdrawiam.

-- 12 wrz 2009, o 11:21 --Czyli \(\displaystyle{ x^{9} = ax ^{2}}\) i tak z kazdym wyrazem.

[miki999]

Miałem na myśli porównywanie wyrazów pod względem 2. potęgi iksa. W Twoim wzorze żaden wyraz nie jest postaci \(\displaystyle{ ax^2}\), zatem suma współczynników wynosi \(\displaystyle{ 0}\).



Pozdrawiam.

[Inkwizytor]

Zastosuj rozwinięcie wzoru: \(\displaystyle{ (a+b)^n}\)

zastosowałem rozwinięcie wzoru, wyszło mi cos takiego:
\(\displaystyle{ \left(x \sqrt{x} \right) ^{6}+x \sqrt{x} \left( \frac{2}{ x^{2} } \right) ^{5}+ \frac{2}{ x^{2} } \left( x \sqrt{x} \right) ^{5}+ \frac{2}{ x^{2} } ^{6}}\) ile wynosi współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\)

Z tego co wiem to rozwinięcie n-tej potęgi sumy dwóch wyrazów daje n+1 składników sumy. Więc rozwinięte jest błędnie. Poza tym wskazówka czeslawa jest dosyć ważna i przyspieszająca rozwiązanie.