Wykaż, że p<0 (wzory Viete'a dla wielomianów)

[adner]

Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ x^{3}+px+q}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste i \(\displaystyle{ q \neq 0}\), to \(\displaystyle{ p < 0}\).

Dochodzę do takiego czegoś, że \(\displaystyle{ -(x_{2}+x_{3})^{2}+x_{2}x_{3}=p}\). Niby od razu widać, że lewa strona jest mniejsza od zera(nie równa, bo \(\displaystyle{ q \neq 0}\), więc iloczyn pierwiastków też nierówny zero), ale nie bardzo wiem, jak to wyrazić matematycznie, bo chyba to już widać, że jest mniejsze od zera, a może muszę coś robić z innymi równaniami?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=-(x_{2}+x_{3})\\-(x_{2}+x_{3})^{2}+x_{2}x_{3}=p\\(x_{2}+x_{3})(x_{2}x_{3})=q\end{cases}}\)

[czeslaw]

Łe tam od razu wzory Viete'a dla wielomianu. Zapisz wielomian w postaci iloczynowej, ze współczynnikiem przy trzeciej potędze równym 1 i przy drugiej równym 0 i wymnóż.

Potem trzeba będzie tylko wykazać, że \(\displaystyle{ a+b+c = 0 \Rightarrow ab+ac+bc < 0}\), co jest ogólnie uznaną nierównością, wystarczy podnieść równość do kwadratu i poprzekształcać trochę. W razie problemów pisz.

[bedbet]

\(\displaystyle{ -x_1(x_2+x_3)+x_2x_3=p}\)

Poza tym wystarczy pokazać, że wielomian takiej postaci, dla którego \(\displaystyle{ p\geq 0}\) jest monotoniczny, czyli nie może mieć trzech pierwiastków.

[czeslaw]

\(\displaystyle{ -x_1(x_2+x_3)+x_2x_3=p}\)

Nie bardzo rozumiem, to jest odpowiedź na pytanie, komentarz do mojego rozwiązania czy taki post w klimacie luźnym?

[bedbet]

Chodziło mi o to, że wcześniej było źle policzone \(\displaystyle{ p}\). Edytowałem już posta i dopisałem co nieco. Nawiasem mówiąc metody analityczne w teorii liczb są nieraz prostsze.

[czeslaw]

Ok, rzeczywiście nie zauważyłem różnicy.

Tak, zgadza się, często dobrze jest spojrzeć na zadanie z nieco innej perspektywy, niż męczyć się z długimi przekształceniami. No ale trzeba mieć pomysł.

[adner]

\(\displaystyle{ -x_1(x_2+x_3)+x_2x_3=p}\)

Niby jak? Przecież wzór to
\(\displaystyle{ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}}\), czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=p}\), czyli \(\displaystyle{ x_1(x_2+x_3)+x_2x_3=p}\).

Zadanie ma być zrobione korzystając ze wzorów Viete'a dla wielomianów, więc tak też chciałbym je mieć zrobione. I nie ważne, że może da się to zrobić prościej, ale jak zacznę przy tablicy rozprawiać o monotoniczności wielomianu, nauczycielka w najlepszym wypadku mnie pogoni, bo po prostu tego jeszcze na lekcjach nie było, a tu nie chodzi o to, żeby ona wiedziała o co chodzi, lecz klasa.

A tak tylko dodam, Czesław, że takie wymnażanie to dokładnie to samo, co wzory Viete'a, tylko tam jest już wymnożone

Ostatecznie jednak Twój post mi pomógł w poprawnej interpretacji tego, co z tych wzorów wychodzi, więc dzięki.

[czeslaw]

adner, nie do końca tak. Owszem, wzory Viete'a wyprowadza się, nie korzystając z niczego innego - ale to nie to samo. Może rozumujesz w inny sposób niż ja, ważne że udowodniłeś co trzeba.

Pozdrawiam.

[adner]

adner, nie do końca tak. Owszem, wzory Viete'a wyprowadza się, nie korzystając z niczego innego - ale to nie to samo. Może rozumujesz w inny sposób niż ja, ważne że udowodniłeś co trzeba.

Pozdrawiam.

Jednak jest problem - co do nierówności nieostrej nie mam problemów, ale skąd wziąć warunek, że \(\displaystyle{ p \neq 0}\)?

[czeslaw]

Wtedy mamy wielomian postaci \(\displaystyle{ x^{3} + q}\). Dlaczego nie ma on trzech pierwiastków rzeczywistych (oczywiście cały czas obowiązuje założenie \(\displaystyle{ q \neq 0}\) )?

[adner]

Aha, bo wtedy \(\displaystyle{ x^{3}=-q}\), czyli \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{-q}}\), czyli jest tylko jeden pierwiastek, tak?

[czeslaw]

Jasne.
Ewentualnie widać to w rozkładzie tego elementu na czynniki (zakładam bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ q>0}\) i rozpatruję 2 przypadki):
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \\ x^{3} + q = (x+\sqrt[3]{q})(x^{2}-x \cdot \sqrt[3]{q} + \sqrt[3]{q^{2}}) \\ 2^{\circ}\\ x^{3} - q = (x-\sqrt[3]{q})(x^{2}+x \cdot \sqrt[3]{q} + \sqrt[3]{q^{2}})}\)

W tych drugich nawiasach oczywiście delta jak zawsze ujemna, we wzorach na sumę i różnicę sześcianów zawsze tak to wygląda.