Nierówność z wartością bezwzględną - sposób rozwiązania.

mrealm77 · Post autor: **mrealm77** » 9 wrz 2009, o 19:19

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć w jaki sposób mogę rozwiązać taką nierówność wielomianową?
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left| x^{3} - x\right| \le x^{2} + x +1}\)

Chodzi mi oczywiście o sposób rozwiązania.

At123 · Post autor: **At123** » 9 wrz 2009, o 19:23

Rozkladasz wart. bezw. z definicji i dostajesz 2 nierownosci wielomianowe, okreslone przez pewne dziedziny
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left| x^{3} - x\right| \le x^{2} + x +1 = \begin{cases} \frac{1}{2} (x^{3} - x) \le x^{2} + x +1, dla \ x^{3} - x \ge 0 \\ \frac{1}{2} -(x^{3} - x) \le x^{2} + x +1, dla \ x^{3} - x<0 \end{cases} = ...}\)

mrealm77 · Post autor: **mrealm77** » 9 wrz 2009, o 19:28

Pomiędzy tymi dwoma nierównościami jest spójnik 'i' czy 'lub' ?
I juz przy tych normalnie przerzucam wszystko na lewą stronę, tak?

jest możliwość sprawdzenia tego czy poprawnie wykonam? np, podstawiając jakąś liczbę z tego przedziału, który otrzymam?

Till · Post autor: **Till** » 9 wrz 2009, o 19:31

No można np najpierw zauważyć, że
\(\displaystyle{ x^3-x = x(x-1)(x+1)}\) i nierównowść przyjmie postać
\(\displaystyle{ {1 \over 2}|x||x-1||x+1|\leq x^2 + x + 1}\).
Prawa strona jest zawsze dodatnia wiec nalezy porozpatrywać x należaczy do przedziałów
które powstaną przez rozpatrzenie lewej strony nierówności.

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 9 wrz 2009, o 19:32

1. spójnik LUB bo mówimy, że wnętrze wartości bezwzględnej może być nieujemne LUB ujemne
2. te dwie nierówności normalnie sobie rozwiązujesz, pamiętając o podziale dziedziny na dwa przedziały
3. zawsze możesz sobie wybrać dowolną liczbę, należącą do danego przedziału, żeby upewnić się, czy dobrze policzyłeś

JankoS · Post autor: **JankoS** » 9 wrz 2009, o 19:34

mrealm77 pisze:Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć w jaki sposób mogę rozwiązać taką nierówność wielomianową?
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left| x^{3} - x\right| \le x^{2} + x +1}\)

Chodzi mi oczywiście o sposób rozwiązania.

Można z tego zrobić nierówność podwójną
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left| x^{3} - x\right| \le x^{2} + x +1 \Leftrightarrow \begin{cases} -(2x^{2} + 2x +2 )<x^3-x \\ x^3-x<2x^{2} + 2x +2 \end{cases}}\). Rożwiązanie dostaje się "autonatycznie" bez rozptrywania alternatywy czterech warunków.

mrealm77 · Post autor: **mrealm77** » 9 wrz 2009, o 19:37

mmoonniiaa pisze:...pamiętając o podziale dziedziny na dwa przedziały...

Nie bardzo rozumiem te słowa..

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 9 wrz 2009, o 23:36

mrealm77, taką nierówność można rozwiązać na dwa sposoby. Albo z definicji, o czym pisał At123, albo z twierdzenia, o czym pisał JankoS. Osobiście polecam Ci tą drugą metodę, bo jest znacznie łatwiejsza i szybsza. Przedstawię Ci krótko obie, wybór należy do Ciebie.

-- 9 września 2009, 23:55 --

Korzystamy z twierdzenia o wartości bezwzględnej, które zapisuję Ci poniżej:
\(\displaystyle{ war.: \ dla \ a>0:\\
|x|<a \Leftrightarrow -a<x<a\\
|x|>a \Leftrightarrow x<-a \vee x>a}\)

1. najpierw wymnażamy obustronnie przez 2
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} | x^{3} - x| \le x^{2} + x +1 \Leftrightarrow | x^{3} - x| \le 2 x^{2} + 2x +2}\)

2. następnie przyjrzymy się warunkowi twierdzenia: dla \(\displaystyle{ a>0}\), ponieważ po prawej stronie nierówności nie mamy konkretnej liczby tylko niewiadomą, musimy zastrzec, że \(\displaystyle{ a>0}\), bo tylko wtedy można zastosować to twierdzenie, a więc:
\(\displaystyle{ 2x^2+2x+2>0 \Leftrightarrow x^2+x+1>0 \Leftrightarrow x \in R}\)
wyliczasz deltę, okazuje się, że nie ma miejsc zerowych, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc trójmian kwadratowy jest zawsze dodatni, czyli OK, bo o to chodziło

3. teraz zajmijmy się wyliczaniem (w naszym przykładzie wartość bezwzględna jest od czegoś MNIEJSZA LUB RÓWNA, więc skorzystamy z pierwszej linijki twierdzenia):
\(\displaystyle{ -(2x^2+2x+2) \le x^3-x \le 2x^2+2x+2}\) i teraz wystarczy rozwiązać taką nierówność podwójną (są to dwie nierówności połączone koniunkcją, więc na koniec będziesz szukał części wspólnej)-- 10 września 2009, 00:02 --Teraz nie chciałabym Ci mieszać z definicją. Jak czegoś jeszcze nie rozumiesz w sposobie z twierdzeniem, to pisz. Jak już wszystko będzie jasne z twierdzeniem, napisze Ci o sposobie z definicji, OK?