Dwa iloczyny

[mol_ksiazkowy]

a) Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) są dwoma pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3-px+2=0}\), to \(\displaystyle{ ab}\) jest
pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^3+px^2-4=0}\)
b) Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) są dwoma różnymi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^4+ bx^3-1=0}\), (gdzie \(\displaystyle{ b \in R}\)) to \(\displaystyle{ \alpha \beta}\) jest
pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^6+x^4+b^2x^3 -x^2-1=0}\)

[Rogal]

Jeśli się nie mylę, to obydwa pójdą w ten sam sposób, podam do pierwszego rozumowanie.
Załóżmy, że c jest trzecim pierwiastkiem tego równania. Wtedy wystarczy rozważyć równanie o pierwiastkach ab, ac, bc - korzystamy z wzorów Viete'a i otrzymujemy to, co nam podpowiadają.
Drugie raczej analogicznie (wzrost stopnia do szóstego uzasadniony faktem takim, że dojdą jeszcze dwa pierwiastki, czyli możliwych iloczynów jest sześć).

[xanowron]

Pierwszy przykład jest tu:
87083.htm