Rozwiązanie równań trzeciego stopnia

[frej]

Równanie trzeciego stopnia w ogólnym przypadku rozwiązuje się przy pomocy wzorów Cardano. Jednak przypadek z ujemną deltą daje trzy rozwiązania rzeczywiste. Problem z ich wyznaczeniem sprowadza się do obliczenia pierwiastka sześciennego z liczby zespolonej, a w zasadzie obliczenia części rzeczywistej tego pierwiastka. Zapisując \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x+iy}=a+ib}\) można wprawdzie trochę przekształcając dojść do kolejnego równania sześciennego zmiennej \(\displaystyle{ a^3}\), tj. równania \(\displaystyle{ a^9+pa^6+qa^3+r=0}\), ale to też trzeba rozwiązać wzorami Cardano.
Mam zatem pytanie, w jaki sposób można dojść do dokładnej postaci rozwiązania takiej jak np. wypluwa wolframalpha, link

Rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \left(2-50 \sqrt[3]{\frac{2}{3 \sqrt{57129}-119}} +\sqrt[3]{\frac{1}{2} (3 \sqrt{57129)-119}} \right)}\)

Jak dojść do takiej postaci

[Rogal]

To równanie nie ma trzech rzeczywistych pierwiastków, tylko jeden. Będę nieskromny i się polecę ;p
post22648.htm#p22648

[frej]

Przepraszam za głupi błąd Wielomian wpisywałem na ślepo, więc wyszedł wielomian trzeciego stopnia z deltą dodatnią... Widziałem kiedyś Twój artykuł, znam także metodę z cosinusami. Jednak w metodzie z cosinusem także trzeba jakoś poradzić sobie ze znalezieniem dokładnej wartości \(\displaystyle{ \cos \frac{\alpha}{3}}\)...

Istotnie, gdy wpisałem równanie z trzema pierwiastkami, to wypluło mi jako exact form liczby z częściami urojonymi pod pierwiastkami...

W każdym razie dzięki za pomoc:)