Kilka zadań na egzamin poprawkowy z matematyki

Piotr59mb · Post autor: **Piotr59mb** » 13 sie 2009, o 18:47

Witam. Mam niedługo egzamin poprawkowy z matematyki. Większość materiału już umiem, jednak z kilkoma zadaniami nie mogę sobię poradzić. Czy mógłby ktoś pomóc?

1) Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ b}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{2}-5x+2=(x^{3}+2x^{2}+2x-1)(x-b)}\)

2) Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ (x^{2}+2x-3)(3x+m)=3x^{3}+8x{2}-5x-6}\)

3) Nie wykonując dzielenia, oblisz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez dwumian \(\displaystyle{ q}\)
\(\displaystyle{ w(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x+1}\)
\(\displaystyle{ q(x)=x+1}\)

4) Wyznacz współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wielomianu
\(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+ax^{2}-bx-6}\)
wiedząc, że pierwiastkami tego wielomianu są liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\). Wyznacz trzeci pierwiastek

5) Dane są wielomiany:
\(\displaystyle{ w(x)=2x^{2}-6x+5}\) , \(\displaystyle{ p(x)=ax+b}\) , \(\displaystyle{ u(x)=4x^{3}-6x^{2}-8x+15}\) .
Wyznacz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), dla których
\(\displaystyle{ w(x)*p(x)=u(x)}\)

6) Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ 2x^{4}-x^{3}+2x^{2}-3=(2x^{3}+ax^{2}+bx+3)*(x-1)}\)

7) Rozłóż wielomian na czynniki
\(\displaystyle{ w(x)=-x^{3}+4x^{2}+21x}\)

Rozpisałem te zadanie tak (ale nie wiem, czy dobrze)
\(\displaystyle{ w(x)=x(-x^{2}+4x+21)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=b^{2}-4ac}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16+21}\)
\(\displaystyle{ \Delta=37}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{37}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-4-\sqrt{37}}{-2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=2-\sqrt{37}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-4+\sqrt{37}}{-2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=2+\sqrt{37}}\)
\(\displaystyle{ w(x)=-x(x-2-\sqrt{37})(x-2+\sqrt{37})}\)

-> poprawiona wersja

\(\displaystyle{ \Delta=16+84}\)
\(\displaystyle{ \Delta=100}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=10}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-4-10}{-2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=7}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-4+10}{-2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=-3}\)
\(\displaystyle{ w(x)=-x(x-7)(x+3)}\)

Jestem niemal pewien, że popełniłem gdzieś błąd.

Liczę na pomoc.
Dziękuję z góry i pozdrawiam.
Piotr59mb

Gacuteek · Post autor: **Gacuteek** » 13 sie 2009, o 19:00

7) \(\displaystyle{ 4ac=21 \cdot 4 \cdot -1=-84}\)

źle podstawiasz i dlatego zła delta wychodzi.

Piotr59mb · Post autor: **Piotr59mb** » 13 sie 2009, o 19:05

Ok, dzięki, już poprawiam.
Ale czy zapis w postaci iloczynowej jest poprawny?

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 13 sie 2009, o 19:09

4. rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} w(1)=0 \\ w(2)=0 \end{cases}}\)

-- 13 sie 2009, o 19:12 --

6. podziel obie strony równania przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) musisz jednak zastrzec, że \(\displaystyle{ x \neq 1}\)
następnie ułóż układ równań zgodnie z twierdzeniem że wielomiany są równe jeśli są tego samego stopnia a współczynniki przy tych samych potęgach są sobie równe

dla x=1 równanie jest prawdziwe dla każdego a i b-- 13 sie 2009, o 19:19 --2. podziel obie strony równania przez \(\displaystyle{ (x-1)(x+3)}\) i znowu z twierdzenia z zadania 4

Piotr59mb · Post autor: **Piotr59mb** » 13 sie 2009, o 19:21

W zadaniu 4 wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ b=-11}\)
Czy to poprawny wynik?

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 13 sie 2009, o 19:26

5. znowu układ równań nie musisz wymnażać wystarczy zobaczyć że po lewej stronie otrzymasz x do 3 potęgi wymnażając jedynie \(\displaystyle{ 2x^2*ax=4x^3}\) to samo z x do potęgi zerowej otrzymasz go jedynie wymnażając \(\displaystyle{ 5*b*x^0=15}\) wystarczy rozwiązać te równania

-- 13 sie 2009, o 19:30 --

mi wyszło a=-6 i b=-11 ale jeszcze sprawdzę-- 13 sie 2009, o 19:32 --tak powinno być gdzieś zrobiłeś błąd pokaż jak liczysz

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 13 sie 2009, o 19:32

3. Twierdzenie Bezoute'a.
5. Możesz wymnozyc i przyrównac odpowiednie współczynniki, albo podzielic u(x) przez w(x).

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 13 sie 2009, o 19:36

3. twierdzenie Bezouta się kłania jeżeli oznaczymy r jako resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-a) to W(a)=r

Piotr59mb · Post autor: **Piotr59mb** » 17 sie 2009, o 20:39

Ok, wszystkie prócz 5 i 2 wyliczyłem...
Mógłby ktoś dokładniej wytłumaczyć jak to rozwiązać?
Również nie rozumiem jak w zadaniu drugim mam podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ (x-1)(x+3)}\)

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 18 sie 2009, o 20:34

\(\displaystyle{ (x^{2}+2x-3)(3x+m)=3x^{3}+8x^2-5x-6 | /(x-1)(x+3)}\)
zauważ, że \(\displaystyle{ (x^{2}+2x-3)=(x-1)(x+3)}\) zatem po lewej zostanie ci \(\displaystyle{ (3x+m)}\)
prawą stronę zapiszemy w postaci iloczynowej łatwo zauważyć, że 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu bo \(\displaystyle{ 3+8-5-6=0}\) zatem \(\displaystyle{ 3x^{3}+8x^2-5x-6=(x-1)(3x^2+11x+6)=(x-1)(x+3)(3x+ 2 )}\)

wracamy do naszego równania po podzieleniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ 3x+m=3x+2\\m=2}\)

Piotr59mb · Post autor: **Piotr59mb** » 19 sie 2009, o 14:21

Ok, dzięki! Ale jak będzie z tym zadaniem 5?

Mam jeszcze jedno zadanie, którego nie rozumiem...
Wyznacz współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}-(a+b)x^{2}-(a-b)x+3}\) wiedząc, że pierwiastkami tego wielomianu są liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Wyznacz trzeci pierwiastek.

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 19 sie 2009, o 14:33

podziel wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) a następnie to co ci wyjdzie z dzielenia znowu podziel przez \(\displaystyle{ (x-3)}\) najlepiej zrób to Hornerem. Z twierdzenia Bezout'a wiesz, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez oba dwumiany wyjdzie 0 zatem wystarczy obliczoną resztę przyrównać do zera i otrzymasz układ równań do rozwiązania.

Piotr59mb · Post autor: **Piotr59mb** » 19 sie 2009, o 15:09

Rozłóż wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^{5}-7x^{4}+12x^{3}}\) na czynniki:
1 sposób
\(\displaystyle{ w(x)=x^{3}(x^{2}-7x+12)}\)
\(\displaystyle{ w(x)=x^{3}(x^{2}-x-6x+12)}\)
\(\displaystyle{ w(x)=x^{3}[(x+\sqrt{x})(x-\sqrt{x})-6(x-2)]}\)

2 sposób
\(\displaystyle{ w(x)=x^{3}(x^{2}-7x+12)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=b^{2}-4ac}\)
\(\displaystyle{ \Delta=49-48}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{7-\sqrt{1}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{7-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=3}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{7+\sqrt{1}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{7+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=4}\)
\(\displaystyle{ w(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})}\)
\(\displaystyle{ w(x)=x^3(x-3)(x-4)}\)

Czy oba sposoby są poprawne?

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 19 sie 2009, o 19:19

Teoretycznie tak, praktycznie nie. co Ci daje takie rozłożenie jakie zaproponowałeś w pierwszym sposobie? Na pewno nie wywnioskujesz z tego pierwiastków. Pomijając nawet fakt występowania \(\displaystyle{ x}\) pod pierwiastkiem, to wyrażenie zawieraja odejmowanie, a nie wyłącznie mnożenie wielomianów stopnia pierwszego. Jeżeli już chcesz grupowac wyrazy, to trzeba to było zrobic tak:
\(\displaystyle{ x^2-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-4)(x-3)}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 sie 2009, o 09:57

Piotr59mb pisze: Wyznacz współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}-(a+b)x^{2}-(a-b)x+3}\) wiedząc, że pierwiastkami tego wielomianu są liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Wyznacz trzeci pierwiastek.

Idzie od razu z :
\(\displaystyle{ W(1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ W(3)=0}\)