kilka zadań

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
ella1700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 11 lut 2009, o 16:10
Płeć: Kobieta

kilka zadań

Post autor: ella1700 »

mam kilka wakacyjnych zadań, proszę o ich rozwiązanie bo nie wiem jak je zrobic

Zad1
wyznacz liczby a, b, c takie, aby funcje \(\displaystyle{ W(x)= \frac{a}{x+1}+ \frac{bx+c}{x ^{2}-x+1 }}\) i \(\displaystyle{ F(x)=\frac{3x ^{2} +x+4 }{ x ^{3} +1}}\) były równe.

Zad2.
wyznacz zbior wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4x}{x ^{2}+1 }}\)

Zad3
Jednym z rozwiązań równania \(\displaystyle{ 3x ^{3}+ax ^{2}+bx+12=0}\) , gdzie a i b są liczbami cąłkowitymi jest liczba \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\)
znajdź a i b.

Zad4
Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x) (st.W(x)>2) wynosi 8 zaśsuma współczynników przy potęgach zmiennej o nieparzystych wykładnikach równa się sumie współczynników przy potęgach zmiennej o wykładnikach parzystych. Wyznacz resztę z dzielenia powstałą z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=-7x ^{2} +7}\)
Awatar użytkownika
Artist
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 865
Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 239 razy

kilka zadań

Post autor: Artist »

1.
\(\displaystyle{ W(x)=\frac{a(x^{2}-x+1)+bx+c}{(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{ax^{2}+(b-a)x+(a+c)}{x^{3}+1}}\)
Aby zaszła rówość musi być:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=3 \\ b-a=1 \\ a+c=4 \end{cases}}\)

Oczywiście dziedzina \(\displaystyle{ x \in R \backslash \{ -1 \}}\)
Ostatnio zmieniony 12 sie 2009, o 16:08 przez Artist, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

kilka zadań

Post autor: Inkwizytor »

ella1700 pisze: Zad2.
wyznacz zbior wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4x}{x ^{2}+1 }}\)
1. Dziedzina rzeczywista,
2. Funkcja nieparzysta,
3. \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pm \infty } f(x) = 0}\)
4. Liczysz I pochodną, znajdujesz ekstrema (wyjdą dwa). Z (2) wynika że będą to liczby przeciwne, a z (1) i (3) wynika że będzie to MAX i MIN. Szukasz \(\displaystyle{ f(x_{max})}\) i \(\displaystyle{ f(x_{min})}\) wówczas:

\(\displaystyle{ D^{-1} = <f(x_{min}),f(x_{max})>}\)
ella1700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 11 lut 2009, o 16:10
Płeć: Kobieta

kilka zadań

Post autor: ella1700 »

dziękuje za zad1

a co do zadania 2 to nie mialam jeszcze tego 'lim' czy mozna zrobic to innym sposobem?
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

kilka zadań

Post autor: Inkwizytor »

ella1700 pisze:a co do zadania 2 to nie mialam jeszcze tego 'lim' czy mozna zrobic to innym sposobem?
Znaczy jak? Pochodne były, a granic nie było?
Uprzedzając pytanie: bez pochodnych się nie da. Teoretycznie bez limesów da się ale trzeba by "jakoś" uzasadnić, iż znalezione ekstrema to jednocześnie maksymalne i minimalne wartości funkcji.-- 12 sie 2009, o 15:49 --
ella1700 pisze: Zad3
Jednym z rozwiązań równania \(\displaystyle{ 3x ^{3}+ax ^{2}+bx+12=0}\) , gdzie a i b są liczbami cąłkowitymi jest liczba \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\)
znajdź a i b.
Oznacz \(\displaystyle{ W(x)=3x ^{3}+ax ^{2}+bx+12}\). Z treści wynika że:
\(\displaystyle{ W(1+ \sqrt{3})=0}\) czyli \(\displaystyle{ 3(1+ \sqrt{3}) ^{3}+a(1+ \sqrt{3}) ^{2}+b(1+ \sqrt{3})+12=0}\)
Wykonaj działania. Pogrupuj wymierne i niewymierne. Każde z nich muszą osobno się wyzerować. Na podstawie tej obserwacji ułożysz układ równań z a i b.
ella1700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 11 lut 2009, o 16:10
Płeć: Kobieta

kilka zadań

Post autor: ella1700 »

nie było granic ani pochodnych widocznie pani profesor dala nam zadanie z 'wyprzedzeniem' ;/
dziekuje za zad.3
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

kilka zadań

Post autor: Rogal »

Kolega Inkwizytor myli się w swych sądach, ale nikt se ne jes neomylny (nawet Inkwizycja).

Zastanawiamy się, jakie wartości może przyjąć funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{4x}{x^{2} + 1}.}\)
Sprawdźmy więc, dla jakich m następujące równanie ma rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{4x}{x^{2} + 1} = m \\ 4x = mx^{2} + m \\ mx^{2} - 4x + m = 0}\)
Gdy m = 0, to x = 0, więc wartość zero jest przyjęta. Załóżmy dalej, że \(\displaystyle{ m \neq 0:}\)
\(\displaystyle{ mx^{2} - 4x + m = 0 \\ \Delta = 16 - 4m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 4m^{2} \leq 16 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow m \in [-2, 2]}\)
W czym również siedzi 0. Więc zbiorem wartości naszej funkcji jest przedział [-2, 2].
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

kilka zadań

Post autor: Inkwizytor »

Rogal pisze:Kolega Inkwizytor myli się w swych sądach, ale nikt se ne jes neomylny (nawet Inkwizycja).
I tu przyznaję rację (zresztą historia pokazała że inkwizycja "kilka razy" nie do końca mogła mieć rację )
Aczkolwiek trzeba mocno uczulić na takie podejście do tematu, gdyż można nabrać złych matematycznych nawyków
frej

kilka zadań

Post autor: frej »

Z nierówności między średnimi \(\displaystyle{ \frac{4x}{x^2+1}\le 2}\) a z nieparzystości funkcji \(\displaystyle{ D^{-1}=[-2,2]}\)
ella1700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 11 lut 2009, o 16:10
Płeć: Kobieta

kilka zadań

Post autor: ella1700 »

dziekuje Kolegom za rozwiazanie zadania 2
ODPOWIEDZ