Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez (x-1)(x-3)

[mateo19851]

Mam kłopoty z zadaniem : Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\) jest równa \(\displaystyle{ 5}\), zas reszta z dzielenia tego samego wielomianu przez \(\displaystyle{ x-3}\) wynosi \(\displaystyle{ 7}\). Wyznacz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{(x-1)(x-3)}}\) ...

Czy mógłby mi ktoś pomóc .
I jeszcze jedno pytanie : wiem że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-r}\) wynosi \(\displaystyle{ W(r)}\), natomiast jak dzielimy \(\displaystyle{ W(x)}\) przez inny wielomian np \(\displaystyle{ \left( x-x_1 \right) \left( x-x_2 \right) \left( x-x_3 \right)}\), to jak to wtedy robimy ??

[shadow]

Siema, tak na poczatku chcialem sie przywitac , bo jest to moj peirwszy post...
A co do zadanka to wydaje mi sie ze tam jest blad:

Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\) jest równa \(\displaystyle{ 5}\)

A w poleceniu masz \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{(x-1)(x-3)}}\)... jezeli ma byc \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{(x-2)(x-3)}}\) to ja bym to rozwiazal w ten sposob:
reszta bedzie liniowa a wiec \(\displaystyle{ R=ax+b}\)
rozwiaz uklad rownan:
\(\displaystyle{ W(2)=5}\) a wiec \(\displaystyle{ 2a+b=5}\)
\(\displaystyle{ W(3)=7}\) a wiec \(\displaystyle{ 3a+b=7}\)

z tego ukladu wynika ze \(\displaystyle{ a=2}\) a \(\displaystyle{ b=1}\) ;] Reszta jest rowna \(\displaystyle{ 2x+1}\). Jak sie nigdzie nie walnalem to powinno byc ok ;]

[mateo19851]

czemu reszta jest liniowa ??

[shadow]

no jezeli dzielisz przez \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)}\) to masz rownanie kwadratowe a wielomian sie dzieli dopoki reszta nie jest mniejszego stopnia niz dzielnik, czyli w tym przypadku wychodzi liniowa.
Np.: \(\displaystyle{ \frac{x^2+3x+2}{x-1} = (x+4) + 6 ; \ (R=6)}\)
( tu dzielnikiem jest dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) )
A w Twoim przykldzie dzielnik jest drugiego stopnia.

[mateo19851]

Ale skąd wiadomo jakiego stopnia jest wielomian ??

[pajq]

\(\displaystyle{ x+1}\) - wielomian stopnia pierwszego
\(\displaystyle{ x^2 -2x-1}\) - wielomian stopnia drugiego
\(\displaystyle{ x^5 - 55}\) - wielomian stopnia piątego
\(\displaystyle{ x^n -1}\) - wielomian stopnia n-tego

\(\displaystyle{ x^2 + x^7 + x^4}\) - wielomian stopnia siodmego

/Boże, żebym się nie pomylił /

[mateo19851]

Tak to wiem . Ale skąd wiemy jakiego stopnia jest wieloman skoro mamy tylko jakieś dwumian x-r i resztę z dzielenia tego wielomianu.

[Yavien]

Po pierwsze, popraw, albo zaprzecz: w pierwszym Twoim poście mamy reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) (reszta 5) i przez \(\displaystyle{ (x-3)}\) (reszta 7), a szukamy reszty z dzielenia przez iloczyn tych samych dwóch dwumianów \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)}\)

\(\displaystyle{ W(x) = P(x) \cdot (x-2) + 5\\
W(x) = Q(x) \cdot (x-3) + 7\\
W(x) = S(x) \cdot (x-2)(x-3) + R(x)}\)

Pytasz, skąd wiemy, że \(\displaystyle{ R(x)}\) jest stopnia co najwyżej 1?

Bo \(\displaystyle{ (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6}\) jest stopnia drugiego, gdyby \(\displaystyle{ R(x)}\) był wyższego stopnia niż wielomian liniowy, to dałoby się jeszcze podzielić z resztą przez \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)}\)Na przykład:

\(\displaystyle{ R(x) = 2x^2 + 4x + 18}\) (liczby losowane)

Wtedy
\(\displaystyle{ R(x) = 2 \cdot (x^2 - 5x + 6) + 10x -12 + 4x + 18 \\ =2 \cdot (x-2)(x-3) + 14x + 6}\)
---> reszta wyszła liniowa.
Można to rozpisać na ogólnych literkach (współczynnikach), aby dowód był scisły, ja tylko próbuję agitować Udało się? Przekonałam?

[mateo19851]

Po pierwsze, popraw, albo zaprzecz: w pierwszym Twoim poście mamy reszty z dzielenia przez (x-2) (reszta 5) i przez (x-3) (reszta 7), a szukamy reszty z dzielenia przez iloczyn tych samych dwóch dwumianów (x-2)(x-3)

Odp. Być moze nauczycielka się pomyliła w zadaniu i jest tak jak Wy piszecie . Ale to wtedy jak byśmy to rozwiązywali ??

Po drugie : dzieki za odpowiedź . Coś zaczyna świtać.

[shadow]

tak jak Ci napisalem w pierwszym poscie ;] (to jest wg mnie, jezeli ktos uwaza inaczej to czekam na inne opcje)