Parametry w wielomianach

[wlamywacz]

Witam

Aktualnie uczy się wielomianów i rozwiązuje każde zadanie ze zbioru zadań z matmy. Problemu dla mnie nie stanowią działania z pojedynczym parametrem jednak z dwoma nie potrafię rozwiązać.

Wyznacz wartości parametru q tak, aby liczba r była pierwiastkiem wielomianu W(x)
\(\displaystyle{ W(x) = x^{3}+ax^{2}-4x+b}\) , \(\displaystyle{ r=-3}\)\(\displaystyle{ r=2}\)
Próbowałem rozwiązać je układają układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (-3)^{3}+a(-3)^{2}-4*(-3)+b=0\\2^{3}+a*2^{2}-2*2+b=0\end{cases}}\)
Jednak nie wychodzi.

Z góry dziękuje za pomoc i pozdrawiam

[Nakahed90]

Układ jest dobrze zbudowany. Pokaż jak dalej liczysz.

[wlamywacz]

Oto dalsza część:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -27+9a+12+b=0\\8+4a-4+b=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -15+0a+b=0\\4+4a+b/*(-1)\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -15+9a+b=0\\-4-4a-b\end{cases}}\)
Z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ 5a = 19}\)

[Artist]

\(\displaystyle{ \begin{cases} -27+9a+12+b=0 \Rightarrow b=15-9a \\ 8+4a-8+b=0 \Rightarrow 4a+b=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 4a-9a+15=0 \Rightarrow a=3}\)
Popraw sobie:
\(\displaystyle{ 2^{3}+a \cdot 2^{2}-4 \cdot 2 +b=0}\) powinno być.-- 11 sierpnia 2009, 18:17 --

Układ jest dobrze zbudowany. Pokaż jak dalej liczysz.

Nie jest zamiast 4 jest 2.

Pozdrawiam.

[wlamywacz]

Dziękuje bardzo za pomoc, taki prosty błąd -- 11 sierpnia 2009, 18:51 --Niestety to jednak nie wszystkie problemy dla mnie w dziale wielomianów. Czy można by prosić o podpowiedz w jaki sposób rozwiązać równania typu:
Dal jakiś wartości parametrów a, b liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)
\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - 2x^{3} + 6x{2} + ax + b}\)

Z góry dziękuje za pomoc

[Artist]

Weźmy dwie liczby p,r które będą tymi pierwiastkami
\(\displaystyle{ W(x)=(x-p)^{2}(x-r)^{2}=x^{4}-2x^{3}+6x^{2}+ax+b}\)
Wypotęguj, porównaj współczynniki i rozwiąż układ

To jest jak masz dwa podwójne pierwiatki. Zapisz całe polecenie jak mozesz.

[wlamywacz]

Pełna treść:
Dal jakiś wartości parametrów a, b liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)
\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - 2x^{3} + 6x{2} + ax + b}\) \(\displaystyle{ r=1}\)

Mimo tego co napisałeś, nie rozumiem co mi to da. Może jakiś przykład ?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ (x-1)^2(x-x_3)(x-x_4)=x^4-2x^3+6x^2+ax+b}\)

I poredukuj.

[wlamywacz]

Przepraszam, że zadaje tyle pytań ale nie mogę tego zrozumieć. Co oznaczają parametry \(\displaystyle{ x_{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{4}}\), po co tworzy dodatkowe niewiadome?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ x_3, \ x_4}\) to 2 pozostałe pierwiastki tego wielomianu, które można najpierw obliczyć przez przyrównanie a potem wyrażenia z nimi przyrównać do \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\). Można też podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ (x-1)^2}\) i sprawdzić, dla jakich \(\displaystyle{ a,b}\) wielomian dzieli się bez reszty.

P.S. Upsss... \(\displaystyle{ x_3, x_4}\) są urojone, ale to nie zmienia faktu, że można dzięki nim policzyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

Jednak dzielenie jest duuużo prostsze :]

[frej]

Należy jednak pamiętać, że \(\displaystyle{ (x-1)^3 \nmid W(x)}\)
Można też tak: \(\displaystyle{ W(1)=W'(1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ W''(1) \neq 0}\), ale autor chyba nie zna pochodnych