wyznaczanie wielomianów

marek12 · Post autor: **marek12** » 29 lip 2009, o 22:48

Wyznacz wielomiany P(x) i Q(x) możliwie najmniejszego stopnia, które spełniają zależność
\(\displaystyle{ (x^4 - 2x^3 - 4x^2 +6x+1)P(x) + (x^3 - 5x - 3)Q(x) = x^4}\)\(\displaystyle{ }\)

Tomcat · Post autor: **Tomcat** » 29 lip 2009, o 22:59

Może tak, na początek przedstaw znane wielomiany w postaci iloczynowej, dzięki znajomości pierwiastków będziesz mogł pewne założenie przyjąć.

frej · Post autor: **frej** » 29 lip 2009, o 23:08

Ja bym na początek podstawił
\(\displaystyle{ P(x)=\sum_{k=0}^{m}a_kx^k}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=\sum_{i=0}^{n} b_i x^i}\)
wymnożył i porównał współczynniki. Co prawda nie wiem co z tego wyjdzie, ale można spróbować

marek12 · Post autor: **marek12** » 29 lip 2009, o 23:19

frej nie wiem jak to zrobic nadal

Tomcat · Post autor: **Tomcat** » 29 lip 2009, o 23:22

A moją metoda próbowałeś?

marek12 · Post autor: **marek12** » 29 lip 2009, o 23:29

nie rozumiem , mozesz zacząc

Tomcat · Post autor: **Tomcat** » 29 lip 2009, o 23:38

masz dwa wielomiany załóżmy:
\(\displaystyle{ G(x)=x^4-2x^3-4x^2+6x+1 \\ H(x)=x^3-5x-3}\)
przedstaw je w postaci iloczynu, tak jakbyś liczył ich miejsca zerowe.

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 30 lip 2009, o 00:14

Mam dość żmudny pomysł:

Podstawiamy:
\(\displaystyle{ Q(x)=-xP(x)+Q_1(x)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ (-2x^3-9x^2+3x+1)P(x)+(x^3-5x-3)Q_1(x)=x^4}\)

następne podstawienie zlikwiduje \(\displaystyle{ x^3}\) w którymś nawiasie itd.

Nie doliczyłem do końca, więc nie wiem czy to dobra metoda.

edit: zmieniłem oznaczenie \(\displaystyle{ Q'}\) na \(\displaystyle{ Q_1}\).

marek12 · Post autor: **marek12** » 30 lip 2009, o 08:06

a mógłby to ktoś zrobić dokońca?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 30 lip 2009, o 10:26

Zrobiłem na kartce i wychodzi rozwiązanie ale nie chce mi się tego przepisywać - trochę tego jest.

Wiadomo co robić dalej:

\(\displaystyle{ Q_1(x)=2P(x)+Q_2(x)}\) otrzymamy \(\displaystyle{ (x^2-x+5)P(x)+(x^3-5x-3)Q_2(x)=x^4}\)

\(\displaystyle{ P(x)=-xQ_2(x)+P_1(x),\ (x^2-x+5)P_1(x)+(x^2-10x-3)Q_2(x)=x^4}\)

\(\displaystyle{ P_1(x)=-Q_2(x)+P_2(x),\ (x^2-x+5)P_2(x)+(-9x-8)Q_2(x)=x^4}\)

.............

marek12 · Post autor: **marek12** » 30 lip 2009, o 10:50

a jaka wyszła ci odpowiedz?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 30 lip 2009, o 12:56

Brzydka z ułamkami, możliwe że się walnąłem w rachunkach.

Właściwie wyszły dwie odpowiedzi (pytanie w zadaniu nie jest dość precyzyjnie sformułowane), P stopnia 6 i Q stopnia 6 lub P st 5, Q st 7.

alchemik · Post autor: **alchemik** » 30 lip 2009, o 13:57

\(\displaystyle{ Q(x)=-x^{7}+4x^{6}-3x^{5}-x^{4} \\ P(x)=x^{6}-2x^{5}-2x^{4}}\)

Dobrze, bo sprawdzałem i się zgadza, chyba, że jakaś literówka.
Oczywiście wyżej wymienionym sposobem, muszę dodać, że niezwykle pomysłowym.

fon_nojman, Tutaj masz błąd.

fon_nojman pisze: Podstawiamy:
\(\displaystyle{ Q(x)=-xP(x)+Q_1(x)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ (-2x^3-9x^2+3x+1)P(x)+(x^3-5x-3)Q_1(x)=x^4}\)

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 4 sie 2009, o 10:52

Rzeczywiście, powinno być

\(\displaystyle{ (-2x^3+x^2+9x+1)P(x)+(x^3-5x-3)Q_1(x)=x^4}\)

ale dalej dobrze liczyłem

alchemik \(\displaystyle{ x^4}\) po prawej stronie redukowałeś, czy trzymałeś do końca, bo nie wiem dlaczego mi nie wychodzi?