Nierówność wielomianowa

[Krzyzak]

Witam, szukam sposobu na rozwiązanie nierówności:
\(\displaystyle{ -2x^{5}+3x^{4}+3x^{2}-2x>0}\)

Jeżeli ktoś byłby w stanie w prosty sposób wyłożyć, jak takie coś się liczy to byłbym zobowiązany...

[robson161]

\(\displaystyle{ -2x^{5}+3x^{4}+3x^{2}-2x}\)
\(\displaystyle{ x*(-2x^{4}+3x^{3}+3x-2)}\)
\(\displaystyle{ x*(-2x^{4}-2+3x^{3}+3x)}\)
\(\displaystyle{ x*(-2(x^{4}-1)+3(x^{3}+x)}\)
\(\displaystyle{ x*(-2(x^{4}-1)+3x(x^{2}+1)}\)

pisać dalej ?

[alchemik]

robson161, Tam powinno być \(\displaystyle{ x^{4}+1}\)

Jeżeli Krzyzak, nie popełnił błędu przy przepisywaniu to trudno będzie to rozwiązać.

[Nakahed90]

Oprócz 0 są jeszcze dwa pierwiastki zespolone.

[Krzyzak]

Nierówność ta wyszła mi jako pochodna (przy badaniu monotoniczności), sprawdzałem w programie do liczenia bo nigdy sam sobie nie wierzę jak policzę i wolę się upewnić

[fon_nojman]

Wszystkie liczby \(\displaystyle{ x<0}\) spełniają tą nierówność
\(\displaystyle{ - 2x^5 + 3x^4 + 3x^2 - 2x = 2(-x)^5 + 3x^4 + 3x^2 + 2(-x)>0}\)
czyli wystarczy zająć się dodatnimi.

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ -2x^{5}+3x^{4}+3x^{2}-2x>0}\)

Wyłączymy x i zajmijmy się wielomianem czwartego stopnia:
\(\displaystyle{ Q(x)=-2x^{4}+3x^{3}+3x-2}\)
Q(0) = -2
Q(1) = 2

Czyli na pewno są rzeczywiste miejsca zerowe. Dlaczego miejscA? Otóż:
Wielomian stopnia parzystego ma ramiona skierowane w tę samą stroną dla lim \(\displaystyle{ x \rightarrow \pm \infty}\) Ponieważ przy najwyższym stopniu mamy "minus" oba ramiona w dół. Pozostaje kwestią sprawdzenie czy ekstrema (w ilości 1 lub 3) "wystają" nad Oś OX.
Pierwsza pochodna:
\(\displaystyle{ Q'(x)=-8x^{3}+9x^{2}+3}\)
Warunek konieczny Q'(x) = 0
Udało mi się znaleźć dość dobre przybliżenie \(\displaystyle{ x_0 = \frac{4}{3}}\)
Dzielimy wielomian przez dwumian (x-4/3) i wychodzi \(\displaystyle{ S(x)=-8x^{2} - \frac{27}{16}x- \frac{9}{4}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) mamy jedno miejsce zerowe pochodnej. Łatwo sprawdzić że następuje zmiana monotoniczności Q(x) i w dodatku jest to maksimum
Liczymy Q(4/3) = 2,79 > 0
Ponieważ jest to jedyne ekstremum Q(x) to muszą być dwa miejsca zerowe rzeczywiste jedno pomiędzy 0 i 1, drugie "gdzieś" powyżej 4/3.

[piasek101]

\(\displaystyle{ -2x^4+3x^3+3x-2=\left(-2x^2+0,5(\sqrt{41}+3)x-2\right)\left(x^2+0,25(\sqrt{41}-3)x+1\right)}\) (zrobiłem ,,moim" sposobem; może ktoś sprawdzi, nie mam cierpliwości)

[edit]19.04 Sprawdziłem - jest ok.