Równanie dwukwadratowe

[Bartek1991]

Wyznacz liczbę rozwiązań równania w zalezności od parametru .

\(\displaystyle{ (m-3)x^4 - 3(m-3)x^2 +m+2 = 0}\)

Mógłby mi ktoś pokazać jakie należy położyć tutaj warunki aby w pełni poprawnie rozwiązać to zadanie?

[scyth]

Podstaw \(\displaystyle{ x^2=t}\) i masz zwykłe równanie kwadratowe. Następnie jeśli to równanie ma:
- dwa różne dodatnie rozwiązania, to równanie wyjściowe ma cztery
- dwa różne rozwiązania, z czego jedno jest zerem a drugie dodatnie, to wyjściowe ma trzy rozwiązania
- dwa rozwiązania, jedno dodatnie i drugie ujemne, to wyjściowe ma dwa rozwiązania
- dwa różne rozwiązania, z czego jedno jest zerem a drugie ujemne, to wyjściowe ma jedno rozwiązanie
- jeden pierwiastek podwójny dodatni, to wyjściowe ma dwa rozwiązania (chyba, że podwójny pierwiastek to zero, wtedy jest jedno)
- w innych przypadkach brak rozwiązań równania wyjściowego

[Inkwizytor]

To wszystkie możliwe przypadki zadania z wielomianem mającym x tylko w czwartej i drugiej potędze.
niech x1 , x2 będą różnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi
Masz takie przypadki

\(\displaystyle{ a(x^2+x_1)(x^2+x_2)=0}\) -> 0 rozwiązań
\(\displaystyle{ ax^2(x^2+x_1)=0}\) lub \(\displaystyle{ ax^4=0}\) -> 1 rozwiązanie (x=0)
\(\displaystyle{ a(x^2-x_1)(x^2+x_2)=0}\) -> 2 rozwiązania
\(\displaystyle{ ax^2(x^2-x_2)=0}\) -> 3 rozwiązania (tym x=0)
\(\displaystyle{ a(x^2-x_1)(x^2-x_2)=0}\) -> 4 rozwiązania
Ekstremalne przypadki
\(\displaystyle{ a \cdot W_4(x) + c =0}\) i a=0 ->
dla c=0 -> \(\displaystyle{ \infty}\) wiele rozwiązań
dla c \(\displaystyle{ \neq 0}\) -> 0 rozwiązań

[Bartek1991]

scyth, a mógłbys napisać z czego to wynika? Bo raczej nie będę się uczył tego na pamięć

[scyth]

Jak \(\displaystyle{ t>0}\) (pierwiastek drugiego równania), to dwa rozwiązania wyjściowego ukłądu to \(\displaystyle{ \pm \sqrt{t}}\). Jak masz dwa różne \(\displaystyle{ t}\), to rozwiązaniami są \(\displaystyle{ \pm \sqrt{t_1} , \ \pm \sqrt{t_2}}\). Jeśli któreś z nich jest zero, to wiadomo. Jak któreś z nich jest ujemne, to nie ma takiego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), że \(\displaystyle{ x^2=t<0}\). Jasne?

[Bartek1991]

Spróbowałem rozwiązać, bardzo proszę o sprawdzenie.

Mamy zatem równanie \(\displaystyle{ (m-3)t^2 - 3(m-3)t + m + 2 = 0}\), gdzie\(\displaystyle{ x^2 = t}\)

Rozpatruje dwa główne przypadki:

I. gdy m=3, wówczas nasze równanie przyjmuje postać 5=0 co jest sprzecznością, czyli dla m=3 brak rozwiązań.

II. gdy \(\displaystyle{ m \neq 3}\), obliczam delte, \(\displaystyle{ \Delta = 5m^2 -50m +105}\), następnie z wzorów Vietea doliczam:

\(\displaystyle{ t_1 + t_2 = 3 \\ t_1 \cdot t_2 = \frac{m+2}{m-3}}\) skąd:

\(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2 > 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty; -2) \cup (3; + \infty) \\ t_1 \cdot t_2 < 0 \Leftrightarrow m \in (-2,3)}\)

a) Brak rozwiązań (dla obu równań) gdy \(\displaystyle{ m \in (3,7)}\)
b) Jedno rozwiązanie równanie z t gdy \(\displaystyle{ m=7}\), ponieważ 7 zawiera się w przedziale w którym iloczyn jest większy od zera, oznacza to dwa pierwiastki dla równania pierwotnego
c) Dwa rozwiązania równania z t gdy \(\displaystyle{ m \in ( - \infty ;3 ) \cup (7 ; + \infty)}\)

Teraz na jedną oś nanosze warunek na delte oraz na znak iloczynu t1 i t2, skąd odczytuję:

- obydwa pierwiastki dodatnie (a to oznacza 4 pierwiastki dla równania wyjściowego):
gdy \(\displaystyle{ m \in ( - \infty; -2) \cup (7 ; + \infty)}\)
- obydwa ujemne (czyli brak pierwiastków równania wyjściowego)
gdy m należy do zbioru pustego ponieważ dla każdego m, t1 + t2 = 3 > 0
- jeden dodatni, drugi ujemny (czyli dwa pierwiastki dla równania wyjściowego)
gdy \(\displaystyle{ m \in (-2,3)}\)

I tak to wyglada z mojej strony, jeszcze raz prosiłbym o sprawdzenie, bo chciałbym wiedziec czy dobrze to rozumiem. Bo wydaje mi sie że coś pominąłem, np. kiedy t = 0 ?

[Inkwizytor]

Uwagi techniczne:

\(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2 > 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty; -2) \cup (3; + \infty) \\ t_1 \cdot t_2 < 0 \Leftrightarrow m \in (-2,3)}\)

Na tym etapie musisz uwzględnić deltę.
\(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2 > 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty; -2) \cup (7; + \infty)}\)
przy x należącym (3,7) delta jest ujemna (a w 7 równa 0) więc t1 i t2 nie istnieją, dlatego ich iloczyn też nie istnieje

b) Jedno rozwiązanie równanie z t gdy \(\displaystyle{ m=7}\), ponieważ 7 zawiera się w przedziale w którym iloczyn jest większy od zera, oznacza to dwa pierwiastki dla równania pierwotnego

Jest jeden podwójny, a nie możesz skorzystac z tego o czym piszesz, bo patrz: uwaga powyżej.
Najlepiej za m podstawić tę 7-kę wyliczyć jedyne miejsce zerowe:
Dla delty=0 t0=(-b/2a)
a=m-3=4
b=-3(m-3)=-12
t0=12/8=1,5 jest dodatnie więc w KOŃCOWYM rozrachunku 2 rozwiązania (gdyby t0 wyszło ujemne to brak rozwiązań)
Metoda bezpieczniejsza i nikt się nie przyczepi.

Teraz na jedną oś nanosze warunek na delte oraz na znak iloczynu t1 i t2, skąd odczytuję:

- obydwa pierwiastki dodatnie (a to oznacza 4 pierwiastki dla równania wyjściowego):
gdy \(\displaystyle{ m \in ( - \infty; -2) \cup (7 ; + \infty)}\)
- obydwa ujemne (czyli brak pierwiastków równania wyjściowego)
gdy m należy do zbioru pustego ponieważ dla każdego m, t1 + t2 = 3 > 0
- jeden dodatni, drugi ujemny (czyli dwa pierwiastki dla równania wyjściowego)
gdy \(\displaystyle{ m \in (-2,3)}\)

Nie uwzględniłeś domknięć przedziałów w swojej odpowiedzi oraz zgubiłeś odpowiedź że jak delta ujemna to w końcowej odpowiedzi też zaliczamy do braku rozwiązań. A funkcja kwadratowa ma miejsce zerowe w x=0 tylko wtedy gdy wyraz wolny jest równy zero, a w przypadku tego zadania to jest dla m=-2, o czym wspomniałem parę zdań wcześniej.

[Bartek1991]

Nie uwzględniłeś domknięć przedziałów w swojej odpowiedzi

w którym miejscu konkretnie?

zgubiłeś odpowiedź że jak delta ujemna to w końcowej odpowiedzi też zaliczamy do braku rozwiązań.

czyli gdy \(\displaystyle{ m \in (3;7)}\), faktycznie pominąłem.

A funkcja kwadratowa ma miejsce zerowe w x=0 tylko wtedy gdy wyraz wolny jest równy zero, a w przypadku tego zadania to jest dla m=-2, o czym wspomniałem parę zdań wcześniej.

Czyli dla m=-2 mamy też jedno rozwiązanie, oczywiście x=0 tak?