wielomian z matury próbnej 2010

cheox · Post autor: **cheox** » 21 cze 2009, o 20:47

mam wielomian
\(\displaystyle{ w(x)=x ^{3}+4x + p}\)

gdzie p jest liczba pierwsza i wiadomo ze wielomian ma pierwiastki całkowite

tak na prostą głowę to wyszło mi ze p = 5 ale jak udowodnić to dla każdego p a nie takiego "strzelonego" bo jest to jedna z początkowych liczb pierwszych (p = 2 3 5 7 11 .....)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 cze 2009, o 20:59

Ze schematu Hornera można to zrobić. Wyjdzie nam wtedy:
\(\displaystyle{ w( w^{2}+4)+p=0 \Leftrightarrow w( w^{2}+4)=-p}\)
gdzie \(\displaystyle{ w}\) to pierwiastek całkowity wielomianu i \(\displaystyle{ p}\) to liczba pierwsza. Wiemy, że po prawej jest liczba pierwsza. Po lewej mamy iloczyn. Zatem....No i tutaj daję Tobie dokończyć to zadanie

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 21 cze 2009, o 21:01

Widzimy, że jeśli wielomian taki będzie miał pierwiastki całkowite, to tylko ujemne (wiesz dlaczego?). Teraz: prawdziwe jest twierdzenie, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one podzielnikami wyrazu wolnego. A wyraz wolny jest liczbą pierwszą. Z tych informacji wiemy już, że pierwiastkiem będzie albo -1, albo -p. Oblicz w(-1) i wyjdzie Ci p. Aby udowodnić, że jest to jedyne możliwe p, skorzystaj z twierdzenia Bezout i podziel ten wielomian przez (x+p).

cheox · Post autor: **cheox** » 21 cze 2009, o 21:01

tylko tutaj problem bo ja o schemacie hornera pierwszo słysze..... jestem w 2 klasie liceum

update

dobre to drugie rozwiazanie
wlasnie tym ze -1 wyszlo mi to ze p=5 ale nie sprawdzielm zeby podzielic wielomian na (x+p)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 21 cze 2009, o 21:02

A nie wystarczy zauważyć, że zgodnie z tw. o pierwiastkach całkowitych wielomianu jedynymi kandydatami na takowy pierwiastek jest 1, -1, p i -p?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 cze 2009, o 21:03

No ja w liceum miałem schemat Hornera Poszukaj tego schematu w necie. Jak Ci nie pasuje to zrób sposobem Czesława

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 21 cze 2009, o 21:08

Ja też miałem Hornera w liceum, nawet w pierwszej klasie, ale to nie jest regułą.
Mojego kolegę z ławki zafascynował Horner i niedawno opublikował pracę na temat "rozszerzenie schematu Hornera dla dzielenia przez wielomiany dowolnego stopnia". Dowód zajmuje 14 stron Ogólnie Horner to bardzo przydatna metoda. Chociaż nie zawsze warto strzelać do muchy z pistoletu na wodę (we frazeologizmie jest armata, ale z tym to bym nie przesadzał w przypadku Hornera).
Pozdrawiam.

cheox · Post autor: **cheox** » 21 cze 2009, o 21:16

dzieląc wielomian

\(\displaystyle{ w(x)=x ^{3}+4x + p}\)

na (x+p)

wychodzi mi na końcu \(\displaystyle{ -p ^{3}-3p}\)

i co teraz ??

Rogal · Post autor: **Rogal** » 21 cze 2009, o 21:29

Raju, po co to dzielenie?
Jeśli jest pierwiastkiem, to spełnia równanie W(p) = 0.
I jak to co dalej? Trza policzyć, kiedy jest zerem, zgodnie z tym, co wyżej napisałem.

cheox · Post autor: **cheox** » 21 cze 2009, o 21:36

ale jak policzyc to ze jest równe zerem.... mam obliczone ze 5 jest pierwiastkiem ale jak zrobic zeby udowodnic ze zadna inna nie jest

edit:

juz wiem jak thx

edit:

ale dla w(p)=0

wyjdzie \(\displaystyle{ p ^{3} +5p=0}\)

wyjdzie ze jest to pierwiastek z 5

edit

juz rozumiem teraz bedzie to udowodnienie ze nie istnieje zaden inny dzieki