Rozwiąż równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Luuks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 21 cze 2009, o 17:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Post autor: Luuks »

Zadanie:
\(\displaystyle{ x ^{3}-3x+2=0}\)

Rozwiązanie(a raczej próba)

\(\displaystyle{ x ^{3} -2x-x+2=0}\)

\(\displaystyle{ x(x ^{2}-2)-1(x-2)=0}\)


\(\displaystyle{ x(x+ \sqrt{2})(x- \sqrt{2})-(x-2)=0}\)
Nie wiem co dalej
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Post autor: Rogal »

Prawie dobra próba ;-)
\(\displaystyle{ x^{3} - 3x + 2 = x^{3} -2x^{2} + x + 2x^{2} - 4x + 2 = x(x^{2} - 2x + 1) + 2(x^{2}-2x+1)}\)
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Post autor: Kamil_B »

\(\displaystyle{ x ^{3} -2x-x+2=0}\)
\(\displaystyle{ x(x ^{2}-1)-2(x-1)=0}\)
dalej łatwo.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Post autor: Sherlock »

Spoglądając na powyższe rozwiązania - zadanie wymaga spostrzegawczości zatem można także spostrzec, że wielomian posiada pierwiastek \(\displaystyle{ x=1}\):
\(\displaystyle{ 1^3-3 \cdot 1+2=0}\)
czyli na podstawie tw. Bézouta wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)}\)
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Post autor: Rogal »

Ale do tego nie potrzeba być Sherlockiem :-]
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Post autor: Sherlock »

Rogal pisze:Ale do tego nie potrzeba być Sherlockiem :-]
Ha
Zastanawiałem się czy ten pomysł w ogóle podawać w temacie ale tak jak piszę wyżej, dojście do rozwiązań podanych przez Ciebie oraz Kamila wymaga pewnej spostrzegawczości, a podczas kombinowania może przypadkowo zostać podstawiona 1...
marty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 296
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 21:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 33 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Post autor: marty »

Spostrzegawczość - dobra rzecz, ale ogólnie jeśli współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 1, pierwiastków szukasz wśród dzielników wyrazu wolnego. Tu podejrzane będą +/-1;+/-2. Podstawiając 1 dostajesz pierwiastek.
Awatar użytkownika
czeslaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Post autor: czeslaw »

A to nie jest tak, ze jeśli algebraiczna suma współczynników jest równa 0, to natychmiast dzielimy przez (x-1)?
marty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 296
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 21:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 33 razy

Rozwiąż równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Post autor: marty »

Suma współczynników czyli liczysz W(1), gdzie W(x) jest podanym wielomianem. To tak jakbyś szukał pierwiastka zaczynając od 1.
ODPOWIEDZ