Liczba rozwiązań w zależnosci od m

rosation · Post autor: **rosation** » 21 mar 2006, o 16:17

A oto zadanie:

Wyznacz liczbę rozwiązań równania
x � -3x + 2 = m
w zależności od parametru m.

Z góry dziekuje za pomoc.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 21 mar 2006, o 16:34

Rozpatrz funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^3 - 3x+2}\). Najpierw ją przekształcimy:
\(\displaystyle{ f(x)=x^3 -x-2x+2}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x(x^2-1) -2(x-1)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=(x-1)[x(x+1)-2]}\)
\(\displaystyle{ f(x)=(x-1)(x^2+x-2)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=(x-1)(x^2 - x+2x-2)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=(x-1)[x(x-1)+2(x-1)]}\)
\(\displaystyle{ f(x)=(x-1)(x-1)(x+2)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=(x-1)^2 (x+2)}\)
Przy rysowaniu szkicu wykresu f(x) pamiętaj o tym, że jedynka jest tutaj pierwiastkiem podwójnym, przez co wykres odbije się względem osi OX.
I teraz mamy g(x)=m, której wykres jest równoległy do osi OX. Po naszkicowaniu wykresu funkcji f(x) nie powinieneś mieć już najmniejszego probleu z określeniem liczby rozwiązań wcześniej podanego zadania

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 21 mar 2006, o 16:34

Znasz wzory Cardano? Jesli nie, zajrzyj do naszego kompendium. Na pewno Ci sie przydadza przy tym zadaniu.

spajder · Post autor: **spajder** » 21 mar 2006, o 17:06

od razu wzory Cardano? Nie lepiej zbadać funkcjię \(\displaystyle{ f(x)=x^3-3x+2}\), narysować jej wykres (potrzebne są tylko elementy badania funkcji) i rozwiązać zadanie graficznie?

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 21 mar 2006, o 17:43

Czy ja powiedzialem, ze jest to jedyne sluszne rozwiazanie? Stwierdzilem jedynie prawidziwy fakt, ze korzystajac ze wzorow Cardano da sie to w miare zgrabnie zrobic.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 21 mar 2006, o 17:50

Oczywiście, należy zbadać przebieg zmienności. Gdzie są miejsca zerowe, już wiemy . Należy zbadać granice w nieskończonościach. Teraz wyliczyć pochodną:
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-3x}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=3(x-1)(x+1)}\)
Miejca zerowe pochodnej to jeden i minus jeden. Czyli mamy dwa ekstrema:
\(\displaystyle{ f_{max} (-1)=4}\)
\(\displaystyle{ f_{min} (1)=0}\)
Teraz spokojnie można naszkicować sobie wykres funkcji f(x). Czyli odpowiedź to:
Dla \(\displaystyle{ m (- ;0) \cup (4; )}\) równanie ma 1 rozwiązanie
Dla \(\displaystyle{ m \{0,4 \}}\) równanie ma 2 rozwiązania
Dla \(\displaystyle{ m (0;4)}\) równanie ma 3 rozwiązania