Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
Wiedząc, że r jest pierwiastkiem wielomianu W(x), wyznacz jego pozostałe pierwiastki.
a) \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + 4x^{2} + x - 6 \ \ \ \ \ \ \ \ r = -2}\)
b) \(\displaystyle{ W(x) = 6x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + x + 1 \ \ \ \ \ \ \ \ r = - \frac{1}{3}}\)
c) \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + 5x^{2} - 2x - 10 \ \ \ \ \ \ \ \ r = \sqrt{2}}\)
a) \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + 4x^{2} + x - 6 \ \ \ \ \ \ \ \ r = -2}\)
b) \(\displaystyle{ W(x) = 6x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + x + 1 \ \ \ \ \ \ \ \ r = - \frac{1}{3}}\)
c) \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + 5x^{2} - 2x - 10 \ \ \ \ \ \ \ \ r = \sqrt{2}}\)
- jgarnek
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 11 cze 2009, o 13:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
Wykonujesz dzielenie pisemne (lub schemat hornera) wielomianu przez \(\displaystyle{ (x-r)}\) i otrzymujesz: \(\displaystyle{ W(x)=(x-r)(ax^2+bx+c)}\)- wtedy możesz obliczyć pierwiastki równania kwadratowego, a to już chyba umiesz np. a)\(\displaystyle{ (x^3+4x^2+x-6):(x+2)=x^2+2x-3 \Rightarrow W(x)=(x+2)(x^2+2x-3)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16 \Rightarrow x=1 \vee x=-3}\)
W b) wystarczy zauważyć, że 1 też jest pierwiastkiem W(x) i podzielić dwukrotnie.
\(\displaystyle{ \Delta=16 \Rightarrow x=1 \vee x=-3}\)
W b) wystarczy zauważyć, że 1 też jest pierwiastkiem W(x) i podzielić dwukrotnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 535
- Rejestracja: 19 gru 2008, o 15:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 62 razy
Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
Musisz najpierw podzielić. Np w podpunkcie 'a' wyjdzie Ci:
\(\displaystyle{ (x^{3}+4x^{2}+x-6):(x+2)=x^{2}+2x-3}\)
I szukasz pierwiastków wyniku.
\(\displaystyle{ (x^{3}+4x^{2}+x-6):(x+2)=x^{2}+2x-3}\)
I szukasz pierwiastków wyniku.
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
Wskazówka do c, jeśli nie chce ci się dzielić przez "dziwny" dwumian: \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) też musi być pierwiastkiem tego wielomianu, bo inaczej ten wielomian nie miałby współczynników wymiernych.
Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
Jak to wykonać?Wskazówka do c, jeśli nie chce ci się dzielić przez "dziwny" dwumian: -sqrt{2} też musi być pierwiastkiem tego wielomianu, bo inaczej ten wielomian nie miałby współczynników wymiernych.
Co to znaczy podzielić podwójnie, w jaki sposób dokładnie?W b) wystarczy zauważyć, że 1 też jest pierwiastkiem W(x) i podzielić dwukrotnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
Co do c, to skoro zarówno \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), jak i \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) są pierwiastkami tego wielomianu, to ten wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=x^{2}-2}\), zatem możesz podzielić wielomian przez \(\displaystyle{ x^{2}-2}\).
Co do b, to "podzielić dwukrotnie" oznacza podzielić wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\), a otrzymany wynik znów podzielić przez \(\displaystyle{ x-1}\).
Co do b, to "podzielić dwukrotnie" oznacza podzielić wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\), a otrzymany wynik znów podzielić przez \(\displaystyle{ x-1}\).
Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
@Crizz
Przykład "b" rozwiązałem podanym sposobem (nie przerabialiśmy dzielenia przez niewymierną, więc nie wiedziałem jak się do tego zabrać), natomiast nie wiem jak zabrać się za przykład "c". Dzieląc ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x^{2} - 2)}\) wygląda to tak (sam początek)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3 - 5x^2 + 2x -10) & : & (x^2-2) = x \\
\underline{-x^3 + 2x} & & \\
= & & \\
\end{array}}\)
Ale to chyba nie jest dobrze zaczęte. Mógłby ktoś łopatologicznie wytłumaczyć, bądź jakoś poprowadzić mnie przez ten przykład?
Przykład "b" rozwiązałem podanym sposobem (nie przerabialiśmy dzielenia przez niewymierną, więc nie wiedziałem jak się do tego zabrać), natomiast nie wiem jak zabrać się za przykład "c". Dzieląc ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x^{2} - 2)}\) wygląda to tak (sam początek)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3 - 5x^2 + 2x -10) & : & (x^2-2) = x \\
\underline{-x^3 + 2x} & & \\
= & & \\
\end{array}}\)
Ale to chyba nie jest dobrze zaczęte. Mógłby ktoś łopatologicznie wytłumaczyć, bądź jakoś poprowadzić mnie przez ten przykład?
-
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
yoosek pisze:@Crizz
Przykład "b" rozwiązałem podanym sposobem (nie przerabialiśmy dzielenia przez niewymierną, więc nie wiedziałem jak się do tego zabrać), natomiast nie wiem jak zabrać się za przykład "c". Dzieląc ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x^{2} - 2)}\) wygląda to tak (sam początek)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3 - 5x^2 + 2x -10) & : & (x^2-2) = x \\
\underline{-x^3 + 2x} & & \\
= & & \\
\end{array}}\)
Ale to chyba nie jest dobrze zaczęte. Mógłby ktoś łopatologicznie wytłumaczyć, bądź jakoś poprowadzić mnie przez ten przykład?
Zaczęte bardzo dobrze tylko przy przepisywaniu pomyliłes znaki
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3 + 5x^2 - 2x -10) & : & (x^2-2) = x +5 \\
\underline{-x^3 + 2x} & & \\
5x^2-10 & & \\
\underline{-5x^2+10} & & \\
= & & \\
\end{array}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
b)
\(\displaystyle{ (6x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + x + 1):(x+ \frac{1}{3} ) =6x^3 - 3x^2 - 6x + 3}\)
\(\displaystyle{ 6x^3 - 3x^2 - 6x + 3=3x^2(2x-1)-3(2x-1)=(2x-1)(3x^2-3)=3(2x-1)(x^2-1)=3(2x-1)(x-1)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ 6x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + x + 1=3(x+ \frac{1}{3})(2x-1)(x-1)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ (6x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + x + 1):(x+ \frac{1}{3} ) =6x^3 - 3x^2 - 6x + 3}\)
\(\displaystyle{ 6x^3 - 3x^2 - 6x + 3=3x^2(2x-1)-3(2x-1)=(2x-1)(3x^2-3)=3(2x-1)(x^2-1)=3(2x-1)(x-1)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ 6x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + x + 1=3(x+ \frac{1}{3})(2x-1)(x-1)(x+1)}\)
Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu
@agulka1987
Czy aby na pewno ten przykład jest dobrze? Dlaczego tam na dole jest
\(\displaystyle{ 5x^2-10 & & \\
-5x^2+10}\)
Skąd to się wzięło?
Czy aby na pewno ten przykład jest dobrze? Dlaczego tam na dole jest
\(\displaystyle{ 5x^2-10 & & \\
-5x^2+10}\)
Skąd to się wzięło?