Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu

[yoosek]

Wiedząc, że r jest pierwiastkiem wielomianu W(x), wyznacz jego pozostałe pierwiastki.

a) \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + 4x^{2} + x - 6 \ \ \ \ \ \ \ \ r = -2}\)
b) \(\displaystyle{ W(x) = 6x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + x + 1 \ \ \ \ \ \ \ \ r = - \frac{1}{3}}\)
c) \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + 5x^{2} - 2x - 10 \ \ \ \ \ \ \ \ r = \sqrt{2}}\)

[jgarnek]

Wykonujesz dzielenie pisemne (lub schemat hornera) wielomianu przez \(\displaystyle{ (x-r)}\) i otrzymujesz: \(\displaystyle{ W(x)=(x-r)(ax^2+bx+c)}\)- wtedy możesz obliczyć pierwiastki równania kwadratowego, a to już chyba umiesz np. a)\(\displaystyle{ (x^3+4x^2+x-6):(x+2)=x^2+2x-3 \Rightarrow W(x)=(x+2)(x^2+2x-3)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16 \Rightarrow x=1 \vee x=-3}\)
W b) wystarczy zauważyć, że 1 też jest pierwiastkiem W(x) i podzielić dwukrotnie.

[Mikolaj9]

Musisz najpierw podzielić. Np w podpunkcie 'a' wyjdzie Ci:

\(\displaystyle{ (x^{3}+4x^{2}+x-6):(x+2)=x^{2}+2x-3}\)

I szukasz pierwiastków wyniku.

[Crizz]

Wskazówka do c, jeśli nie chce ci się dzielić przez "dziwny" dwumian: \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) też musi być pierwiastkiem tego wielomianu, bo inaczej ten wielomian nie miałby współczynników wymiernych.

[yoosek]

Wskazówka do c, jeśli nie chce ci się dzielić przez "dziwny" dwumian: -sqrt{2} też musi być pierwiastkiem tego wielomianu, bo inaczej ten wielomian nie miałby współczynników wymiernych.

Jak to wykonać?

W b) wystarczy zauważyć, że 1 też jest pierwiastkiem W(x) i podzielić dwukrotnie.

Co to znaczy podzielić podwójnie, w jaki sposób dokładnie?

[Crizz]

Co do c, to skoro zarówno \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), jak i \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) są pierwiastkami tego wielomianu, to ten wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=x^{2}-2}\), zatem możesz podzielić wielomian przez \(\displaystyle{ x^{2}-2}\).

Co do b, to "podzielić dwukrotnie" oznacza podzielić wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\), a otrzymany wynik znów podzielić przez \(\displaystyle{ x-1}\).

[yoosek]

@Crizz

Przykład "b" rozwiązałem podanym sposobem (nie przerabialiśmy dzielenia przez niewymierną, więc nie wiedziałem jak się do tego zabrać), natomiast nie wiem jak zabrać się za przykład "c". Dzieląc ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x^{2} - 2)}\) wygląda to tak (sam początek)

\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3 - 5x^2 + 2x -10) & : & (x^2-2) = x \\
\underline{-x^3 + 2x} & & \\
= & & \\
\end{array}}\)

Ale to chyba nie jest dobrze zaczęte. Mógłby ktoś łopatologicznie wytłumaczyć, bądź jakoś poprowadzić mnie przez ten przykład?

[agulka1987]

@Crizz

Przykład "b" rozwiązałem podanym sposobem (nie przerabialiśmy dzielenia przez niewymierną, więc nie wiedziałem jak się do tego zabrać), natomiast nie wiem jak zabrać się za przykład "c". Dzieląc ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x^{2} - 2)}\) wygląda to tak (sam początek)

\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3 - 5x^2 + 2x -10) & : & (x^2-2) = x \\
\underline{-x^3 + 2x} & & \\
= & & \\
\end{array}}\)

Ale to chyba nie jest dobrze zaczęte. Mógłby ktoś łopatologicznie wytłumaczyć, bądź jakoś poprowadzić mnie przez ten przykład?

Zaczęte bardzo dobrze tylko przy przepisywaniu pomyliłes znaki

\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3 + 5x^2 - 2x -10) & : & (x^2-2) = x +5 \\
\underline{-x^3 + 2x} & & \\
5x^2-10 & & \\
\underline{-5x^2+10} & & \\
= & & \\
\end{array}}\)

[anna_]

b)
\(\displaystyle{ (6x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + x + 1):(x+ \frac{1}{3} ) =6x^3 - 3x^2 - 6x + 3}\)

\(\displaystyle{ 6x^3 - 3x^2 - 6x + 3=3x^2(2x-1)-3(2x-1)=(2x-1)(3x^2-3)=3(2x-1)(x^2-1)=3(2x-1)(x-1)(x+1)}\)

\(\displaystyle{ 6x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + x + 1=3(x+ \frac{1}{3})(2x-1)(x-1)(x+1)}\)

[yoosek]

@agulka1987
Czy aby na pewno ten przykład jest dobrze? Dlaczego tam na dole jest
\(\displaystyle{ 5x^2-10 & & \\
-5x^2+10}\)

Skąd to się wzięło?