Równania wielomianowe ?

maciek123211 · Post autor: **maciek123211** » 4 cze 2009, o 22:05

Witam mam problem z Wielomianami i nie tylko ale prosiłbym aby ktoś mi mógł pomóc w rozwiązaniu tych zadań oraz opisać krok po kroku jak je rozwiązać :

Zadanie 1
Wykonaj działanie i przedstaw otrzymany wielomian w jak najprostszej postaci:
a)\(\displaystyle{ [2(x ^{3} - 2x+5)-(x-3)(x ^{2} +5x-4) ]}\)
b) \(\displaystyle{ (3x ^{3} -2)(x-1)-(5-2x) ^{2}}\)

Zadanie 2 Rozwiąż równania
a)\(\displaystyle{ x ^{3} - 7x ^{2} -4x+28=0}\)
b) \(\displaystyle{ (x ^{2} +5x)(x ^{2} + 9)(x ^{2} + 4x+4)=0}\)
c) \(\displaystyle{ -2x ^{4} -4x ^{3} +6x ^{2} =0}\)
d) \(\displaystyle{ x ^{3} -3x ^{2} -4x +12 =0}\)

Zadanie 3
Wiedząc że W(3)=0 i W(-1)=0 oblicz współczynniki a,b wielomianu
\(\displaystyle{ w(x)= x ^{3}+ax ^{2} + bx-3}\)

Zadanie 4
Dane są wielomiany \(\displaystyle{ P(x)=(2x+1) ^{3}}\) , Q(x)= 8x+a ,\(\displaystyle{ R=4x ^{2} -1}\)
,\(\displaystyle{ S(x)= 8x^{3} + bx}\). Dla jakich wartości 'a' i 'b' wielomian P(x)+Q(x)-3R(x) jest równy wielomianowi S(x)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu i zrozumieniu tych zadań bo ja nic z tego nie mogę zrozumieć Z góry dziękuje

raphel · Post autor: **raphel** » 4 cze 2009, o 22:13

1.a) \(\displaystyle{ 2x ^{3} -4x +10 - (x ^{3} +5x ^{2} -4x -3x ^{2} -15x +12) = 2x ^{3} -4x +10 -x ^{3} -2x ^{2} +19x -12 = x ^{3} -2x ^{2} +15x -2}\)
b) \(\displaystyle{ 3x ^{4} -3x ^{3} -2x+2 - 25 +20x - 4x ^{2} = 3x ^{4} -3x ^{3}- 4x ^{2} +18x -23}\)-- 4 czerwca 2009, 22:16 --

maciek123211 pisze: Zadanie 3
Wiedząc że W(3)=0 i W(-1)=0 oblicz współczynniki a,b wielomianu
\(\displaystyle{ w(x)= x ^{3}+ax ^{2} + bx-3}\)

rozwiąż układ, otrzymasz a i b
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 ^{3} +9a +3b -3 =0 \\ (-1) ^{3} +a -b -3=0 \end{cases}}\)

Artist · Post autor: **Artist** » 4 cze 2009, o 22:18

1.
Mnóż każżdy przez każdy lub wzory skróconego mnozenia, a potem redukcja co się da.
2.
\(\displaystyle{ x^{3}-7x^{2}-4x+28=x^{2}(x-7)-4(x-7)=(x-7)(x^{2}-4)=(x-2)(x+2)(x-7)=0 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-2 \vee x=7}\)

\(\displaystyle{ (x^{2}+5x)(x^{2}+9)(x^{2}+4x+4)=x(x+5)(x^{2}+9)(x+2)^{2}=0 \Leftrightarrow x=-2 \vee x=0 \vee x=-5}\)
etc.

3.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=3^{3}+a \cdot 3^{2}+3b-3 \\ 0=(-1)^{3}+a \cdot (-1)^{2}-b-3 \end{cases}}\)

Wystarczy rozwiązać.

4.
Wypotęguj, zredukuj co się da podstaw do \(\displaystyle{ S(x)=P(x)+Q(x)-3R(x)}\)

Citizen · Post autor: **Citizen** » 4 cze 2009, o 22:19

ad 2
a) \(\displaystyle{ (x^{2}-4)(x-7)=0}\)

\(\displaystyle{ x=7 \vee x=2 \vee x=-2}\)

b) Rozwiązujesz poprsotu równania każdy z nawiasów = 0

c) \(\displaystyle{ (-x^{2}-3x+3)2x^{2}=0}\) - jak wcześniej

d) \(\displaystyle{ (x^{2}-4)(x-3)=0}\) - jak wcześniej

raphel · Post autor: **raphel** » 4 cze 2009, o 22:21

maciek123211 pisze: Zadanie 4
Dane są wielomiany \(\displaystyle{ P(x)=(2x+1) ^{3}}\) , Q(x)= 8x+a ,\(\displaystyle{ R=4x ^{2} -1}\)
,\(\displaystyle{ S(x)= 8x^{3} + bx}\). Dla jakich wartości 'a' i 'b' wielomian P(x)+Q(x)-3R(x) jest równy wielomianowi S(x)

\(\displaystyle{ P(x)+Q(x)-3R(x) = (2x+1) ^{3} + 8x+a - 3(4x ^{2} -1) = 8x ^{3} +12x ^{2} +6x +1 +8x +a -12x ^{2} +3 = 8x ^{3}+14x +4}\)

wielomiany są równe gdy mają takie same współczynniki przy odpowiednich potęgach, więc wystarczy przyrównać ten wielomian który wyszedł do \(\displaystyle{ S(x)}\)

maciek123211 · Post autor: **maciek123211** » 4 cze 2009, o 22:55

raphel pisze: rozwiąż układ, otrzymasz a i b
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 ^{3} +9a +3b -3 =0 \\ (-1) ^{3} +a -b -3=0 \end{cases}}\)

Nie rozumiem skąd się biorą np 9a albo 3b mógłbyś mi to wytłumaczyć??

raphel · Post autor: **raphel** » 4 cze 2009, o 23:12

maciek123211 pisze: Nie rozumiem skąd się biorą np 9a albo 3b mógłbyś mi to wytłumaczyć??

\(\displaystyle{ W(3) = 0 \Rightarrow x=3}\)
\(\displaystyle{ W(-1) = 0 \Rightarrow x=-1}\)

i teraz podstawiasz do tego równania za 3 za x oraz -1 za x, co daje taki układ;)

maciek123211 · Post autor: **maciek123211** » 4 cze 2009, o 23:21

Nom tak to już wiem a to 9 skąd się bierze?

raphel · Post autor: **raphel** » 4 cze 2009, o 23:29

maciek123211 pisze:Nom tak to już wiem a to 9 skąd się bierze?

\(\displaystyle{ 3 ^{2} =9}\) to chyba powinno być jasne
a że mamy tam w równaniu \(\displaystyle{ ax ^{2}}\) to mamy \(\displaystyle{ a \cdot 3 ^{2}}\)

maciek123211 · Post autor: **maciek123211** » 4 cze 2009, o 23:33

Ahaa nom teraz tom rozumiem he dzięki -- 5 cze 2009, o 00:23 --I teraz tak zadanie trzecie wyszło mi następująco:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 ^{3} -9a+3b-3=0 \\ (-1) ^{3} +a-b-3=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 27-9a+3b-3=0\\ -1+a-b-3=0\end{cases}}\)

i teraz dalej tak
24-9a=(-3b) /: (-3)
-8+3a=b to wstawiam do równania 27-9a+3b-3=0 i wówczas równanie wygląda tak 27-9a+3*(-8)+3a-3
dalej:
27-9a-24+3a-3
-6a=0/:(-6)
a=0
I teraz to a wstawiłem znów do równania i współczynnik b wyszedł mi -8 Czy dobrze rozwiązałem??