Równania do rozwiązania

[berries_girl]

1. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^3-(a^2-a+7)x-(3a^2-3a-6)=0}\), jeśli jednym z jego rozwiązań jest liczba -1.

2. Jednym z rozwiązań równania \(\displaystyle{ 3x^3+ax^2+bx+12=0}\), gdzie a,b należy do liczb całkowitych, jest liczba \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\). Znajdź a i b.

3. Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3+px^2+qx+r=0}\), to:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-p}\)
\(\displaystyle{ x_1*x_2+x_1*x_3+x_2*x_3=q}\)
\(\displaystyle{ x_1*x_2*x_3= -r}\)

(wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia).

[mcbob]

3) \(\displaystyle{ x ^{3}+px ^{2}+qx+r \equiv (x-x _{1}) \cdot (x-x _{2}) \cdot (x-x _{3})}\)

Po wymnożeniu nawiasów dostaniemy wzory Viete'a

2) Wstaw za x liczbę \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\) i dostaniesz sumę liczby całkowitej i liczby niewymiernej równą 0. Więc parametry przy obu składnikach sumy będą musiały być równe 0. Z tego dostaniesz dwa równania z których wyliczysz a i b.

1) Wstawiasz za x liczbę -1 i dostajesz równanie kwadratowe z niewiadomą a.

[berries_girl]

Próbowałam z tym 1 ale mi to nadal nie wychodzi tak jak powinno...

[mcbob]

1) Wstawiając za x liczbę -1 otrzymujemy

\(\displaystyle{ -1+a ^{2}-a+7-3a ^{2}+3a+6=0}\)

Po uporządkowaniu

\(\displaystyle{ a ^{2}-a-6=0}\)

Wychodzi \(\displaystyle{ x=3 \vee x=-2}\) Co jest poprawnym rozwiązaniem bo jak wstawisz te liczby za a to
otrzymasz \(\displaystyle{ x ^{3}-13x-12=0}\) A miejscem zerowym tego wielomianu jest oczywiście -1.

[berries_girl]

Dziękuję bardzo -- 4 cze 2009, o 22:47 --Ale jakbyś mi wyjaśnił te 2 to bylabym wdzięczna bo to nie chce mi wyjść...