oblicz wspolczynniki wielomianu majac dane pierwiastki

DorottaB · Post autor: **DorottaB** » 2 cze 2009, o 22:57

Dwa pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= 4x ^{3} +ax ^{2} +bx+c}\) sa rozwiazaniami rownania \(\displaystyle{ |x|= \sqrt{3} ,}\) a trzeci pierwiastek tego wielomianu jest rowny \(\displaystyle{ ( \sqrt[3]{4 ^{5} } ) ^{0,3} .}\)
Oblicz wspolczynniki a, b, c wielomianu W(x)

teclado · Post autor: **teclado** » 2 cze 2009, o 23:12

\(\displaystyle{ W(x)= 4x ^{3} +ax ^{2} +bx+c\\
\left| x\right|= \sqrt{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}\ \hbox{lub}\ x = -\sqrt{3}\\
( \sqrt[3]{4 ^{5} } ) ^{0,3} = 4^{ \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{10}} = 4^ \frac{1}{2}= \sqrt{4}=2 \\
W( \sqrt{3} ) = 4 \cdot ( \sqrt{3} ) ^{3} +a( \sqrt{3} )^2+ \sqrt{3} b+ c= 0 \\
W( -\sqrt{3} ) = 4 \cdot ( -\sqrt{3} ) ^{3} + a( -\sqrt{3} )^2- \sqrt{3} b+ c = 0\\
W( 2 ) = 4 \cdot ( 2 ) ^{3} + a 2 ^{2} + 2b+ c = 0 \\
\hbox{teraz trzeba rozwiązać układ równań:}\\
\begin{cases} 4 \cdot ( \sqrt{3} ) ^{3} +a( \sqrt{3} )^2+ \sqrt{3} b+ c= 0\\ 4 \cdot ( -\sqrt{3} ) ^{3} + a( -\sqrt{3} )^2- \sqrt{3} b+ c = 0\\ 4 \cdot ( 2 ) ^{3} + a 2 ^{2} + 2b+ c = 0 \end{cases}}\)

kolanko · Post autor: **kolanko** » 2 cze 2009, o 23:15

teclado, a nie 2 czasem trzeci pierwiastek ?

qba1337 · Post autor: **qba1337** » 2 cze 2009, o 23:15

\(\displaystyle{ \left|x \right| = \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x= - \sqrt{3} \vee x= \sqrt{3}}\)

i to są już te 2 pierwiastki

Trzeci pierwiastek to wartość tego wyrażenia

Jak będziesz mial wszystkie pierwiastki to sprowadz je do postaci iloczynowej czyli iloczynu 3 składników.
w tym zadaniu będzie to \(\displaystyle{ 4(x+ \sqrt{3}) (x-\sqrt{3})(x-2)}\)

Wymnóż te nawiasy przez siebie i porownaj wspolczynniki przy x'ach z tym wielominame podanym w zadaniu. W taki sposób wyznaczysz a,b,c

teclado · Post autor: **teclado** » 2 cze 2009, o 23:18

kolanko pisze:teclado, a nie 2 czasem trzeci pierwiastek ?

tak 2

kolanko · Post autor: **kolanko** » 2 cze 2009, o 23:20

wiem poprawilas , wczesniej mialas odp 4.

teclado · Post autor: **teclado** » 2 cze 2009, o 23:21

kolanko pisze:wiem poprawilas , wczesniej mialas odp 4.

piszę i umieszczam od razu i widzę co poprawić

DorottaB · Post autor: **DorottaB** » 3 cze 2009, o 09:10

"Jak będziesz mial wszystkie pierwiastki to sprowadz je do postaci iloczynowej czyli iloczynu 3 składników.
w tym zadaniu będzie to \(\displaystyle{ 4(x+ \sqrt{3}) (x-\sqrt{3})(x-2)}\)"

dlaczego wspolczynnik a to 4? w rownaniach z pierwiastkiem z 3 wychodzi 3.. nie wychodzi mi cos ten uklad rownan ;/ tzn ciagle dochodze do tozsamosci, moglby mi ktos go rozwiazac, prosze?

kolanko · Post autor: **kolanko** » 3 cze 2009, o 10:56

\(\displaystyle{ = 4x ^{3} +ax ^{2} +bx+c =4(x+ \sqrt{3}) (x-\sqrt{3})(x-2)}\)

postać iloczynowa to :
\(\displaystyle{ a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\)
współczynnik kierunkowy a w naszym przypadku to 4. dlatego tak. wymnóż prawą strone , i porównaj współczynniki przy takich samych potęgach .