wielomian z parametrem

[Rubin]

dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{4}+2(m-2)x ^{2}+m ^{2}-1=0}\) ma 2 różne pierwiastki.
z góry dzięki za pomoc

[lina2002]

Czy mógłbyś wstawić klamerki \(\displaystyle{ , o wiele lepiej by się to czytało. Poza tym co to jest to mi2?}\)

[Rubin]

już są

[lina2002]

Wstaw \(\displaystyle{ t=x^{2}}\), \(\displaystyle{ t \ge 0}\).
masz równanie: \(\displaystyle{ t^{2}+2(m-2)t+m^{2}-1=0}\)
Równanie wyjściowe (to z \(\displaystyle{ x}\)-em) ma dwa pierwiastki, gdy równanie z \(\displaystyle{ t}\) ma jeden pierwiastek dodatni (bo wtedy będzie \(\displaystyle{ x= \sqrt{t}}\)lub \(\displaystyle{ x=- \sqrt{t}}\)). Tak więc równanie to może mieć tylko jeden pierwiastek i musi on być większy od zera (układ warunków \(\displaystyle{ \Delta=0}\) i \(\displaystyle{ x_{0}>0}\)) bądź też może mieć dwa pierwiastki, z których jeden będzie większy, a drugi mniejszy od zera (układ warunków: \(\displaystyle{ \Delta>0}\), \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}<0}\), skorzystaj ze wzorów Viete'a). Spróbuj samodzielnie rozwiązać te układy warunków.

Pozdrawiam.

[darlove]

dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{4}+2(m-2)x ^{2}+m ^{2}-1=0}\) ma 2 różne pierwiastki.
z góry dzięki za pomoc

Podstawiamy \(\displaystyle{ y=x^2}\). Nasze rownanie przyjmuje postac

\(\displaystyle{ y^{2}+2(m-2)y+m ^{2}-1=0.}\)

To rownanie moze miec zero pierwiastkow (nie interesuje nas ten przypadek). Moze miec jeden, ale ujemny (to nas nie interesuje), jeden ale 0 (tez nas nie interesuje), albo moze miec jeden, ale dodatni (to nas interesuje). Moze tez miec dwa rozne, ale jesli oba sa dodatnie, to pierwotne rownanie bedzie mialo 4 rozwiazania, a to nas nie interesuje. Moze tez miec dwa, z czego tylko jeden bedzie dodatni, a drugi ujemny, a to nas wlasnie interesuje. Trzeba tylko znalezc te wartosci m, dla ktorych zachodzi jedno z ponizszych:

1. Jeden pierwiastek dodatni.
2. Jeden dodatni, a drugi ujemny.

ad. 1. Jeden pierwiastek dodatni bedzie wowczas, gdy \(\displaystyle{ \Delta=0}\) i \(\displaystyle{ {-b\over {2a}}>0}\). To znaczy, \(\displaystyle{ -16m+20=0}\) i \(\displaystyle{ \frac{-2(m-2)}{2}>0}\). Stad \(\displaystyle{ m=1\frac{1}{4}}\).

ad. 2. Jeden dodatni, drugi ujemny... wzory Viete'a sie przypominaja. Trzeba, aby bylo \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2<0}\) i \(\displaystyle{ \Delta>0.}\) Zatem \(\displaystyle{ m<1\frac{1}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{c}{a}<0}\), tzn. \(\displaystyle{ \frac{m^2-1}{1}<0}\), czyli \(\displaystyle{ |m|<1}\). Stad \(\displaystyle{ m\in(-1,1)}\).

Odpowiedz: \(\displaystyle{ m\in\left\{1\frac{1}{4}\right\}\cup (-1,1).}\)

[Rubin]

dzięki wielki. jak kliknąć, że pomogliście? bo nie moge tego znaleść

[lina2002]

Napis "zacytuj" pewnie widzisz . No to masz taki zielony napis na lewo od tego (na tej samej wysokości). A swoją droga to też się dopiero zorientowałam, gdzie to jest, bo w sumie do tej pory to założyłam tylko jeden własny temat .