Równania i inne

[Citizen]

1) Znajdź 4 kolejne liczby których iloczyn jest równy 8029

2) Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ 1+2x+4x^{2}+8x^{3}+16x^{4}+32x^{5}=0}\)

3) Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}=0}\)

4) Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ x-x^{6}=x^{6}-x^{5}}\)

5) Czy 2003 da się zapisać jako suma co najmniej 3 kolejnych loczb całkowitych nieujemnych?

[BettyBoo]

1) niemożliwe

Ukryta treść:    

iloczyn 4 kolejnych liczb musi być w szczególności liczbą parzystą

2) podstaw t=2x (bo sie lepiej patrzy:P);t=1 nie spełnia tego równania, więc pomnóż przez t-1, rozwiąż i wyrzuć ze zbioru rozwiązań 1.

3) x=1 nie spełnia tego równania; pomnóż przez (x-1), a z rozwiązania wyrzuć 1.

4) x=0, x=1 (o ile mowa o rzeczywistych), bo po uproszczeniu wychodzi wielomian stopnia 4 bez pierwiastków.

5) nie

Ukryta treść:    

musiałoby być \(\displaystyle{ 2003=sk+\frac{s(s+1)}{2}}\), zatem 2003 musiałoby się dzielić albo przez s (dla nieparzystych s) albo przez s/2 (dla parzystych); żadna z tych sytuacji nie jest możliwa dla s>2, bo 2003 jest liczbą pierwszą

Pozdrawiam.

[Citizen]

Dzięki ;D

Jeszcze pytanie,
w 3 wychodzi \(\displaystyle{ x^{8}=1}\) czyli \(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\) , jedynka odpada to rozwiązaniem jest -1 tak?

a w 2 wychodzi mi:

\(\displaystyle{ -(1+t^{2}+2t^{3}+4t^{4}+8t^{5}-16t^{6})=0}\) i co dalej?

[agulka1987]

2.

\(\displaystyle{ 1+2x+4x^2+8x^3+16x^4+32x^5=0}\)

\(\displaystyle{ (2x+1)+4x^2(2x+1)+16x^4(2x+1)=0}\)

\(\displaystyle{ (2x+1)(16x^4+4x^2+1)=0}\)

\(\displaystyle{ 2x+1=0 \vee 16x^4+4x^2+1=0}\)

\(\displaystyle{ 16x^4+4x^2+1}\) zawsze wieksze od 0 gdyz \(\displaystyle{ \Delta <0}\) i \(\displaystyle{ a>0}\)

\(\displaystyle{ 2x+1=0 \Rightarrow x=- \frac{1}{2}}\)



3.

\(\displaystyle{ 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7=0}\)

\(\displaystyle{ (x+1)+x^2(x+1)+x^4(x+1)+x^6(x+1)=0}\)

\(\displaystyle{ (x+1)(x^6+x^4+x^2+1)=0}\)

\(\displaystyle{ (x+1)(x^4(x^2+1)+(x^2+1))=0}\)

\(\displaystyle{ (x+1)(x^4+1)(x^2+1)=0}\)

\(\displaystyle{ x+1=0 \vee x^2+1=0 \vee x^2+1=0}\)

\(\displaystyle{ x=-1 \vee x^2 \neq -1 \vee x^4 \neq -1}\)

czyli pozostaje \(\displaystyle{ x=-1}\)

[Citizen]

Super, dzięki Agulka =D